拓扑数学（一） (3-3)

l〈〉： R

l₋₄ l₋₃ l₋₂ l₋₁ l₀ l₁ l₂ l₃

· · · · –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 · · · R

lₛ：

· · · · · lₛ◠₋₂ lₛ◠₋₁ lₛ◠₀ lₛ◠ₗ lₛ◠ᴢ

Left Rigut

注意：lₛ◠₀ lₛ◠ₗ lₛ◠ᴢ/lₛ◠₀ lₛ◠₁ lₛ◠₂的划分！

给定了上面定义的开区间(lₛ│s ∈＜ωℤ), 我们接下来定义一个映射F：ωℤ → ℙ. 对于任意的f：ω → ℤ，我们可以考虑由它前段 f ⨡ n 对应的开区间 lf⨡ₙ. Claim: ∩ lf⨡ₙ. 仅包含一个无理数. n∈ω

这个claim为真是因为区间套定理告诉我们这个集合非空, 而它是单点集是因为根据lₛ的构造, 它的长度趋向0. 同时我们对lₛ的构造也确保了每一个有理数都是某一个lₛ的端点, 所以每一个有理数都会在某一个lf⨡ₙ之后被避开.

现在我们定义F：ωℤ → ℙ. 对于任意的 f：ω → ℤ，我们规定{F(f)}＝∩lf⨡ₙ.

n∈ω

不难看出这样一个映射是双射. 与此同时, 对于任意basic open set Uₛ，我们都有F[Uₛ]＝lₛ∩ℙ，而形如lₛ∩ℙ的集合正是无理数集上subspace topology的basis. 这确保了F是两个空间的basis之间的双射. Proposition证明完毕.

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