拓扑数学（一） (3-2)

我们上面定义的拓扑实际上就是∏ω的product topology. i∈ω

另外一个观察是: 我们可以用同样的思路给ωℤ＝{f│f：ω → ℤ}这个空间赋予一个拓扑, 即定义所有有穷的整数序列决定的cones作为basic open sets. 这样得到的拓扑和我们上面给Baire space定义的拓扑是同胚的. 任意一个ω和ℤ之间的双射都可以被拓展为＜ωω和＜ωℤ之间的双射, 而这样的双射又可以拓展成为两个空间的basic open sets之间的双射.

有了上面的观察, 我们可以证明前面宣称的一个事实.

Proposition.ωω同胚于无理数集ℙ，其中无理数集上我们采用由ℝ上继承的subspace topology.

Remark: 可能一个偏数学(?)一点的证明用到的是连分数(continued fractions)的方法, 给定一个长度为ω的自然数序列(α₀，α₁，α₂，. . .), 我们将它映射到如下实数:

1

α₀＋─────

1

α₁＋───

1

α₂＋─

·

·

·

可以证明这样一个映射是一个homeomorphism; 具体证明可以看MSE: math./...

然而处于学术背景原因, 我对这些理论掌握得不好, 所以我这里展示一个偏集合论(?)意味的证明.

证明: 根据前文的讨论, 我们证明ωℤ和ℙ是同胚的. 首先列举有理数ℚ＝{qₙ│n ∈ ω} 并且确保q₀＝0. 我们现在将递归定义开区间(lₛ│s ∈＜ωℤ).

首先定义l〈〉＝ℝ, 然后对于每个整数i，定义l〈ᵢ〉＝(i，i＋1). 现在假设 lₛ 已经定义完毕, 我们构造lₛ◠ᵢ满足如下条件 (s◠i意思是序列s后面接上整数i):

1. 每一个lₛ◠ᵢ都是一个以有理数为端点的开区间

2. 对于任意s和i, lₛ◠ᵢ ⊆ lₛ

3. 如果lₛ＝(L，R)，那么令lₛ◠₀的左端点为

L＋R

───

2

4. lₛ◠ᵢ的右端点是lₛ◠ᵢ₊₁的左端点

5. {lₛ◠ᵢ│i ∈ ℤ}的并集是lₛ

1

6. lₛ◠ᵢ的长度小于───

|s＋1|

7. 令s◠i的长度为n，那么对于某个长度为n的序列t◠j，第n – 1个有理数qₙ₋₁是lₜ◠ⱼ的端点 (这一步确保了每一个有理数都是某个区间的端点)

这个构造是良定义的, 因为我们可以一开始对于每个有理数r，都固定一个严格递增的有理数序列, 使得这个序列收敛到r. 这些序列可以用一致可定义的方法来确定, 所以没有涉及到选择公理.

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