拓扑数学（一） (3-1)

The Baire space(Logician's reals)上的拓扑

随便问一个set theorist"什么是实数", 他/她很有可能会半开玩笑地告诉你: "一个实数就是一个自然数到自然数的函数f：ω → ω". 在集合论文献中, 这的确是"real"一词最常见的指代. 集合论中经常会出现的"Cohen real", "random real", "a real coding a well-founded model of ZFC"等说法, 都是取的上文意义上的"实数". 描述集合论常见的介绍语"研究实数的可定义子集"取的也是这个意思. 这篇文章将会介绍这个意义上的“实数”: the Baire Space, 又称Logician's Reals.

定义: 将自然数集{0，1，2，3，. . .}写作ω，则所有从ω到ω的函数集ωω＝{f│f：ω → ω}被称为the Baire space. 自然数的有限序列我们写作＜ωω＝{f│(∃n)(f：n → ω)}

正常来说, 我们把一个这样的函数看作一个长度为ω的自然数序列(f(0)，f(1)，f(2)，f(3). . .). 在此之上, 我们将ωω可视化为一种树的结构:

每一个实数f：ω → ω都对应着这个树上的一个(infinite) branch. 例如下图中红色的branch就是一个实数(的一部分):

不难看出, 这棵树上的每一个点都对应着一个有穷的自然数序列s＝(s₁，s₂，s₃，. . .，sₙ). 给定一个长度为n有穷序列 s∈＜ωω，我们可以考虑由这个点开始向下延展的cone Uₛ＝{f ∈ ωω│f ⨡ n＝s}. 如下图蓝色部分所示:

我们关心形如Uₛ的这些cones, 是因为我们可以拿它们当作basic open sets来得到一个Baire space上的拓扑. 我们将会证明这个ωω在这个拓扑下同胚(homeomorphic)于无理数. 这个事实也给Baire space的别称"Logician's reals"提供了技术上的支持.

定义: 在ωω上定义一个拓扑: 对于任意的＜ωω，我们令Uₛ＝{f ∈ ωω│f ⨡ n＝s}为basic open sets. 我们也可以在ωω上定义一个complete metric (虽然我们不会讨论这个metric):

0 if f＝g

d(f，g)＝{ 1

── if f ⨡n＝g ⨡ n but f(n) ≠ g(n)

n＋1

之所以提及这样一个complete metric, 是因为如下事实: 根据Baire纲定理(Baire category theorem), 我们定义的the Baire space是一个Baire space (lol...)

我们留意到: 每一个basic open set Uₛ 的补集就是与它相交为空的其它basic open sets的并集: Uₛ＝ωω ∖ ∪{Uₜ│Uₜ∩Uₛ＝∅}. 所以这个拓扑有一个clopen basis.

于此同时, 这个拓扑有一个更简单的刻画(虽然没有那么容易可视化): 给自然数集ω赋予discrete topology, 然后再考虑ω份ω的product ∏ω.

i∈ω

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