数学联邦政治世界观
超小超大

集合论和逻辑(Munkres拓扑) (12-1)

目录

函数的基本概念 ▹

关系 ▹

整数和实数 ▹

笛卡尔积 ▹

有限集 ▹

可数集和不可数集 ▹

递归定义原理 ▹

无限集和选择公理 ▹

良序集(well-ordered sets) ▹

极大原理(MaximumPrinciple) ▹

这里采用集合论的朴素观点(naive point), 个人理解就是大家都接受的那种简单观点。对于集合中的对象含义都是直观而且清楚的,然后我们在这样的基础上继续进行,而不对这个概念深入分析。这种分析恰好属于数学和数理逻辑的基础,而不是我们开始研究的这个领域的主题。

逻辑学家对集合论进行了详细的分析,并为这个主题制定了公理。他们的每一个公理都表达了数学家普遍接受的集合的一个性质,它们共同提供了一个足够广泛和强大的基础,使得数学的其余部分都可以建立在它们的基础之上。

不幸的是,如果使用集合论不小心,仅靠直觉的话,就会导致矛盾。事实上,集合论公理化的原因之一就是处理集合的规则可以避免这些矛盾。尽管我们不处理公理,但是我们在处理集合的时候需要从它们派生。在本书中,你将学习如何以学徒的方式处理集合,通过观察我们如何处理集合以及自己如何处理集合。在学习的某些阶段中,你可能希望更仔细的、更详细的学习集合论,那么逻辑或基础课程就可以了。

函数的基本概念

函数基本上在每个数学分支中都会提及,它在整个数学中具有重要的地位,几乎没有必要提醒你它对所有数学都有多重要。在本节,我们将给出准确的数学定义,并探索一些相关的概念。

函数通常视作某个法则(rule), 按照这个法则为集合 A 的每个元素确定集合 B 的一个元素。

微积分中,函数表示方法有: 简单的公式表示,比如f(x)=3x²+2 , 也有级数的表示方式 f(x)=∑ xᵏ。

通常我们并不明确指定集合A,B 是什么,而约定 A 是使法则有意义的实数集,B 是整个实数集。

然而随着数学的发展,我们需要给出函数更精确的定义。数学家们对上述函数的提法尽管表示认同,但是,他们使用的函数定义更加准确。首先,我们定义如下:

定义:指派法则(rule of assignment)是两个集合的笛卡尔积 C × D 的一个子集 r ,这个子集具有性质:C 的每个元素最多是 r 中一个有序偶对的第一个坐标。

因此,C × D 的子集 r 若满足 [(c,d) ∈ r ∧ (c,d') ∈ r] ⇒ [d=d']

则成为一个指派法则。我们可将r 设想成一种指派方法,为 C 的元素 c 指派 D 的满足 (c,d) ∈ r 的元素 d 。

对于指派法则r ,其定义域(domain)是由 r 的元素的第一个坐标组成的 C 的子集,其像集(image set)是由 r 的元素的所有第二个坐标组成的 D 的子集,即

domain(r)={c|∃d ∈ D:(c,d) ∈ r}

image set(r)={d|∃c ∈ C:(c,d) ∈ r}

如果给定了一个指派法则r , 其定义域和像是完全确定的。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

星座之精灵王国 连载中
星座之精灵王国
爱摆烂的笑笑
想好了会写。
0.1万字6个月前
瓢猫:我回来了 连载中
瓢猫:我回来了
猫猫不玩球
“我不知道我能不能做到,我无法成为没有他的ladybug。”“mylady”“总有一天你会为我而来,只是时间问题。”
3.1万字6个月前
秋天的猫叶草 连载中
秋天的猫叶草
站在台风眼的作家
这是一个关于猫,人和秋天草的童话,是一个大人心中的小孩为弥补儿时童年所创造,如果你和我一样,也想找回记忆中缺失的回忆,来猫叶草的书屋,我为你......
42.7万字6个月前
池渊之恋 连载中
池渊之恋
墨染纤云
在疯狂的压榨下,成就了柳漓殇,冷血无情的柳故渊事态淡凉,我们本就不凡,何来平庸,我们更不能止步于此“为什么,为什么要杀了我”“天道无情,而我......
9.2万字6个月前
当白月爱上朱砂痣 连载中
当白月爱上朱砂痣
甜绾绾
你知不知道我们一次偶遇,是我千方百计算出来的结果?CP多多有甜宠有上下有独占
9.1万字6个月前
上古世纪! 连载中
上古世纪!
梦婧
〔处于修改中+更新〕千古情仇,何去何从
6.2万字6个月前