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集合论和逻辑(Munkres拓扑) (12-1)

目录

函数的基本概念 ▹

关系 ▹

整数和实数 ▹

笛卡尔积 ▹

有限集 ▹

可数集和不可数集 ▹

递归定义原理 ▹

无限集和选择公理 ▹

良序集(well-ordered sets) ▹

极大原理(MaximumPrinciple) ▹

这里采用集合论的朴素观点(naive point), 个人理解就是大家都接受的那种简单观点。对于集合中的对象含义都是直观而且清楚的,然后我们在这样的基础上继续进行,而不对这个概念深入分析。这种分析恰好属于数学和数理逻辑的基础,而不是我们开始研究的这个领域的主题。

逻辑学家对集合论进行了详细的分析,并为这个主题制定了公理。他们的每一个公理都表达了数学家普遍接受的集合的一个性质,它们共同提供了一个足够广泛和强大的基础,使得数学的其余部分都可以建立在它们的基础之上。

不幸的是,如果使用集合论不小心,仅靠直觉的话,就会导致矛盾。事实上,集合论公理化的原因之一就是处理集合的规则可以避免这些矛盾。尽管我们不处理公理,但是我们在处理集合的时候需要从它们派生。在本书中,你将学习如何以学徒的方式处理集合,通过观察我们如何处理集合以及自己如何处理集合。在学习的某些阶段中,你可能希望更仔细的、更详细的学习集合论,那么逻辑或基础课程就可以了。

函数的基本概念

函数基本上在每个数学分支中都会提及,它在整个数学中具有重要的地位,几乎没有必要提醒你它对所有数学都有多重要。在本节,我们将给出准确的数学定义,并探索一些相关的概念。

函数通常视作某个法则(rule), 按照这个法则为集合 A 的每个元素确定集合 B 的一个元素。

微积分中,函数表示方法有: 简单的公式表示,比如f(x)=3x²+2 , 也有级数的表示方式 f(x)=∑ xᵏ。

通常我们并不明确指定集合A,B 是什么,而约定 A 是使法则有意义的实数集,B 是整个实数集。

然而随着数学的发展,我们需要给出函数更精确的定义。数学家们对上述函数的提法尽管表示认同,但是,他们使用的函数定义更加准确。首先,我们定义如下:

定义:指派法则(rule of assignment)是两个集合的笛卡尔积 C × D 的一个子集 r ,这个子集具有性质:C 的每个元素最多是 r 中一个有序偶对的第一个坐标。

因此,C × D 的子集 r 若满足 [(c,d) ∈ r ∧ (c,d') ∈ r] ⇒ [d=d']

则成为一个指派法则。我们可将r 设想成一种指派方法,为 C 的元素 c 指派 D 的满足 (c,d) ∈ r 的元素 d 。

对于指派法则r ,其定义域(domain)是由 r 的元素的第一个坐标组成的 C 的子集,其像集(image set)是由 r 的元素的所有第二个坐标组成的 D 的子集,即

domain(r)={c|∃d ∈ D:(c,d) ∈ r}

image set(r)={d|∃c ∈ C:(c,d) ∈ r}

如果给定了一个指派法则r , 其定义域和像是完全确定的。

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