交换代数：中山（Nakayama）引理 (3-3)

＝∑ αᵢ(mᵢ＋N)

lM＋N

∈ l · ───

N

lM＋N

因此 l · M/N＝l · ───＝M/N

N

利用 Nakayama 引理（注意到 M/N 也是有限生成的）即有 M/N＝0 ，故 M＝N

下面这个 Nakayama 引理在局部环中的应用也十分重要，局部环的定义见笔记（二）

命题1.7 设 A 为局部环， m 是其极大理想， k＝A/m 为剩余域；设 M 是有限生成的 A– 模，则 M/mM 上有自然的 k＝A/m 模结构，即 M/mM 是域 k 上的一个线性空间；现在如果有 M 的有限个元素 x₁，· · ·，xₙ ∈ M ，使得它们在商模 M/mM 中的像构成了 k– 线性空间 M/mM 的一组基，那么就有 {xᵢ}ᵢ∈ₗ 在 A 上生成 M

Pf. 记 N＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ⊂ M 为由 x₁，· · ·，xₙ 生成的子模，根据条件我们有

φ：N ↪ M ↠M/mM

是一个满同态，所以 M＝N＋mM ，利用推论1.6即可得到 N＝M.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。