交换代数：中山（Nakayama）引理 (3-2)

写成矩阵的形式就是

x₁

(δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ( · · · )

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )＝0.

xₙ

用 (δᵢⱼф – αᵢⱼ)ₙ×ₙ 的伴随矩阵左乘上面的式子可得

x₁

det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) · lₙ×ₙ( · · · )＝0.(*)

xₙ

将行列式 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 在环 Endᴀ(M) 中展开，根据 δᵢⱼ 的定义以及行列式运算法则，可以得到一个首一的多项式，即 det(δᵢⱼф – αᵢⱼ)＝фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ ，利用 αᵢⱼ ∈ l 我们有系数 α₁，· · ·，αₙ ∈ l；又 x₁，· · ·，xₙ 是 M 的一组生成元，根据 (*) 式， det(δᵢⱼф – αᵢⱼ) 视为 Endᴀ(M) 中的元素将恒等于 0 ，因此

фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0.

特别地，命题1.5中取ф＝idᴍ ，代入命题1.4的条件即有 ф(M)＝M＝lM ，所以存在 l 中的元素 α₁，· · ·，αₙ 满足 фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0. ，也即 1＋α₁＋· · ·＋αₙ 是环 Endᴀ(M) 中的零元，取 x＝1＋α₁＋· · ·＋αₙ ，则 x ≡ 1 (mod l)，并且 xM＝0 ，这就证明了命题1.4

综合以上结论，我们推出了定理1.3，即 Nakayama 引理

Nakayama 引理的结论是一个模为零模，而零模通常不会一开始就出现，一定是作为商模之类的对象产生的，所以猜想 Nakayama 引理通常会用于证明模的相等

推论1.6 设 M 为有限生成的 A– 模， N ⊂ M 为子模， A 的理想 l 包含在 Jacobson 根之中；如果 M＝N＋lM ，则 N＝M

Pf 我们考虑商模 M/N，

lM＋N

有 l · M/N＝l · ───

N

任一 x ∈ M ， x 可以写成 x＝n＋∑αᵢmᵢ 的形式，其中 n ∈ N， αᵢ ∈ l ， mᵢ ∈ M ；于是 x 在 M/N 中的像

ˉx＝x＋N

＝∑ αᵢmᵢ＋N

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