泛函分析知识体系梳理 (2-1)

首先，泛函分析可以分为两部分——线性泛函分析与非线性泛函分析。非线性泛函分析创立在线性泛函分析之后，也以线性泛函分析为基础。

线性泛函分析一般可以分成两部分——线性拓扑空间、线性算子

线性拓扑空间

线性泛函分析研究（无限维）线性空间上的线性算子，需要研究它们的各种收敛性，所以需要赋予线性空间拓扑结构，这就引出了线性拓扑空间。

泛函分析中在线性空间中引入拓扑最基本的方法是引入度量，因为在一般的拓扑空间中，序列的收敛会失去一些重要性质（极限的唯一性等，在Hausdorff空间中序列才不会收敛到两个及以上点），而在度量空间中，这些性质得以保留；

比度量空间性质更好的是赋范线性空间，在线性空间中引入范数就构成赋范线性空间，其中，完备的（无限维）赋范线性空间被称为Banach空间；研究中有时候会在空间中引入乘法，构成线性代数（并非学科的名称，而是一个具体的概念），对应于banach空间的即banach代数。

在线性空间中引进内积即可构成欧几里得空间，由于内积可构造范数，故欧几里得空间都是赋范线性空间，并且是一类比赋范线性空间性质更好的空间。而完备的（无限维）欧几里得空间被称为Hilbert空间，也就是范数是由内积构造的Banach空间。

p.s. 一开始我以为赋范线性空间和欧几里得空间是两类不同的空间。。。

在欧几里得空间中，可以利用其标准正交基(φ₁，φ₂，· · ·，φₙ) 用内积表示元素 x ，也就是展开为级数

ₙ

x＝∑ cₖφₖ；

ₖ₌₁

而在无限维欧几里得空间中，这个展开式变为 x＝∑ cₖφₖ ，被称为 x 的Fourier级数。 ₖ

在完备的度量空间上，有一重要定理：Baire category theorem，其实它更多的是一个拓扑学中的定理，但似乎很少有拓扑学教材会讲，我只在J. Lee的书里见过。

在线性拓扑空间的各种拓扑性质中，可数性(countability)、可分性(separability)和紧性(compactness)都是比较重要的性质，其中最重要的性质是紧性，因其能将许多性质从有限维情形推广到无限维情形。[1]

线性算子

两个线性拓扑空间之间的线性映射被称为线性算子(linear operator)，其中将线性空间映到数域的线性算子被称为线性泛函(linear functional)，线性空间上的所有线性泛函组成的集合被称为对偶空间(dual space)。注意：线性泛函的概念并不确定，不同的书会将不同的算子称为泛函，但对偶空间的概念是确定无异议的。

关于线性算子的延拓，有重要的Hahn-Banach theorem，它有一个集合解释：凸集分解。我看过的每本泛函分析教材都会强调这个定理的重要性，例如：

It deal with the extension of linear functionals.[2]

The most important theorem about the structure of linear continuous functionals on normed spaces.[3]

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