交换代数：中山（Nakayama）引理 (3-1)

本篇笔记我们将讲述交换代数中一个至关重要的结论—— Nakayama 引理，又称中山引理；这一结论的证明不算复杂，并且有很多种证明思路，本文将选用 Atiyah 书上的“行列式法”，这也是交换代数中处理有限生成对象的一个重要的方法

定义1.1 一个 A– 模称为自由的，如果它模同构于若干个 A 的直积 ⨁A＝：A⁽ˡ⁾ ；

i∈l

若 |l|＝n＜∞ ，则也将其记为 Aⁿ

我们在之前的笔记中定义了有限生成模，并且自然有以下结论

命题1.2 设 M 是有限生成的 A– 模，如 M＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ，其中 x₁，· · ·，xₙ ∈ M ，当且仅当存在自由模 Aⁿ 的一个子模 N ⊂ Aⁿ ，使得 M 同构于 Aⁿ/N

现在我们给出 Nakayama 引理

定理1.3 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 是理想，并且 l 包含于 A 的 Jacobson 根 ℜ 中；如果有 lM＝M ，那么必有 M＝0

我们知道环A 的 Jacobson 根有以下等价刻画（参见第二篇笔记）

x ∈ ℜ ⇔ 对任一 y∈A ， 1 – xy 均为 A 中的单位；即任一满足 z ≡ 1 的 (mod ℜ) z∈A 都是单位，如果我们能找到一个满足“模 ℜ 余 1”这一条件的 z ，且使得 zM＝0 ，那么自然也就能证明 M＝0

将ℜ 推广至一般的理想 l ⊂ A ，即要证明以下结论

命题1.4 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 是理想，并且 lM＝M ，那么必存在一个 x ≡ 1(mod l) 使得 xM＝0

根据笔记（一）中的注记1.1.2，xM 本质上是一个 M 到自身的一个交换群同态，更进一步（利用交换环 A 的性质）它还是 A– 线性的；我们联想到有限维线性空间到自身的线性变换，线性代数的知识告诉我们，每个线性变换都可以被一个首一多项式零化，比如特征多项式，而多项式的系数总是在基域之中的；将线性空间替换为 A– 模，基域替换为 l ⊂ A ，那么自然也会有类似的结论

命题1.5 设 M 为有限生成的 A– 模， l ⊂ A 为理想， ф：M → M 是一个 A– 模同态，满足 ф(M) ⊂ lM，则 ф 满足环 Endᴀ(M) 中的等式

фⁿ＋α₁фⁿ⁻¹＋· · ·＋αₙ＝0，

其中 α₁，· · ·，αₙ ∈ l

Pf. 设 M＝Ax₁＋· · ·＋Axₙ ， ф 在 M 上的作用由 ф(x₁)，· · ·，ф(xₙ) 的值唯一确定；又 ф(M) ⊂ lM，故可以设

ф(xᵢ)＝αᵢ₁x₁＋· · ·＋αᵢₙxₙ，

其中 αᵢⱼ ∈ l ， 1 ≤ i，j ≤ n

所以有等式

ₙ

∑ (δᵢⱼф – αᵢⱼ)(xⱼ)＝0，1 ≤ i ≤ n

ⱼ₌₁

1，i＝j

其中δᵢⱼ＝{

0，i ≠ j

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