泛函分析知识体系梳理 (2-2)

最基础的一类线性算子是线性连续泛函，关于Hilbert空间上的连续线性算子的结构，有Riesz表示定理；某一基本函数空间（如C^∞(R^n)）上的连续线性泛函被称为广义函数或分布(distribution)，最早由Schwarz提出（高教社出了他写的广义函数论），在PDE中作为弱解概念的基础有广泛的应用，是PDE的现代理论与古典理论的分水岭之一；在无限维情形中，线性算子的情况非常复杂，目前研究得比较完善的一类是紧算子（全连续算子）。

对于有界线性算子，有三个重要定理：Banach-Steinhaus theorem（共鸣定理，一致有界定理）, open mapping theorem, closed graph theorem. 其中共鸣定理和开映照定理可以由baire纲定理推出，而闭图定理可以由开映照定理推出。

线性算子的理论中，谱分析理论是最重要的，其以线性代数中的特征值概念为基础，但又不同于线性代数中的有限维情形，泛函分析需要研究无限维的情形.

非线性泛函分析

非线性泛函分析大致可分为局部分析和大范围分析两个部分。[4]

非线性泛函分析研究非线性算子，其工具分为几大相对独立的部分。其中Banach空间上的微分理论最为基础，也可以笼统地称之为“线性化”，其重要成果为隐函数定理。其余的主要部分为拓扑度理论、不动点理论、单调算子理论以及变分法（最优化）。

其中变分法是一个非常古老的方向，与微积分是同时代的产物，主要用来处理极值问题。

教材

P. G. Ciarlet的《线性与非线性泛函分析及其应用》，有高教社的中译版，秦铁虎、童裕孙译。这本书的质量极高，无数好评且没有差评，讲解兼顾严格与直观，除了习题有点难以外没什么会让人卡住的地方。

E. Zeidler的《应用泛函分析》，有世图社的影印版。相比于上书本书更加注重应用，书中每一章前都会有对于该章内容关系的讲解，非常平易近人。

参考

1. Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis AMS Vol. 108. p33.

2. Peter D. Lax. Functional Analysis. p19.

3. Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis Vol2. p1.

4. M. Berger. Nonlinearity and functional analysis.

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