《数学哲学》三大主义（二） (5-3)

• 布劳威尔把对排中律的信念追溯到“本体论的实在论”，证明经典数学合法性的各种方法都根据同一个主导观念，即对数学对象世界的存在的预设，这是一个独立于思考着的个体的世界，它服从经典逻辑的法则。

• 布劳威尔认为，数学实践源自人的心灵的内省，一句传统观念论哲学的口号是“存在即被感知”，直觉主义一句相应的口号是“在数学中存在即被构造”。

• 直觉主义者理解的是，排中律原理相当于全知的原理：任何某性质与某数学实体的搭配都可以被判断，即被证明或导出谬误，而布劳威尔的论证是，我们不是全知的，所以我们不应该假设排中律。

• 一个数学实体的定义是非直谓的，是指它涉及包含这个实体的集合；对一个直觉主义者来说，非直谓定义是恶性循环，我们不能运用包含一个数学实体的集合来构造这个实体。

• 布劳威尔反对把数学实体的集合当作似乎它们是完成了的全体来考虑，因为数学家并没有完成对一些常用集合中的所有元素的构造。

• 在他生涯的早期，布劳威尔把实数等同于由一个规则给出的小数扩张，“0和1之间的实数”这个概念意味着在小数点后构造一个初等数列的规则，这一规则有一组有穷的运算序列构成。

• 布劳威尔在规则决定的序列上又补充了“自由选择序列”，这是一种“创造的主体”，它具有自由地在一串展开中的选择序列后构造更多成员的能力。

• 规则决定的序列和自由选择的序列的都只是潜无穷，而不是实无穷。

• 任何关于一个给定实数的定理必须得归自于该实数的有穷多的信息；对规则决定的序列，数学家可以运用那些规则去确定相应实数的一些事实；对自由选择序列，不存在规则，因而数学家在任一时刻所具有的关于它的信息只是该序列的一个有穷前段。

• “弱反例方法”是指直觉主义者通过证明某条经典数学原理会导致排中律的实例来驳斥该条原理，比如对“存在从实数到实数的不连续函数”的驳斥。

• 考虑函数g 满足，当x是有理数时gx＝0，而当x 是无理数时gx＝1；令c为任意实数，如果c是一个自由选择序列，就无法判断c是否是有理数；如果c是由规则决定的，那么在一些情况下也许有可能通过关于该规则的推理去判定c是否是有理数，从而判断是否gc＝0，但是并不存在一般性的方法来计算gc；g的存在导致了不该有的排中律实例，因此g的定义对直觉主义者是不合法的。

• 与从康德的数学哲学走出来的趋势并列的是越来越明显的专注于数学的语言和逻辑的趋势，布劳威尔冲击了这个趋势，语言只不过是一种为了交流精神所构造的不完美的媒介，并且正是这些构造才构成了数学的本质。

3.学生——海丁

• 海丁发展了一套严格的直觉主义逻辑的形式化系统，这个系统被称作“海丁谓词演算”。

• 海丁认为，从经典逻辑背后的形而上学假设（真值的实在论）来看，经典数学的语言最好被理解为（客观的）真的条件，由于对二值性的拒斥，这样的语义学对直觉主义是不合适的，直觉主义的语言应该被理解为证明的条件，这个语言系统被称为海丁语义学。

• 很多排中律的实例似乎无法在海丁语义学中得到合法性证明；此外，一个人只有给出构造那样一个x的方法，才能证明以“存在一个x”开头的句子，这是主流直觉主义主题的形式化。

• 海丁同意布劳威尔关于宣扬精神构造而贬低语言和逻辑的观点，和布劳威尔一样认为语言是交流真实的数学构造的不完美的媒介，而且逻辑依赖于数学。

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