《数学哲学》三大主义（二） (5-2)

2.老师——布劳威尔

• 布劳威尔是康德主义的，他将康德哲学封为“一种旧式的直觉主义”，尽管康德不批判数学实践。

• 布劳威尔与希尔伯特都指出，如果一个人专注于有穷元算术的实践，那么经典的途径与直觉主义的途径之间并没有太多差异，但是希尔伯特与布劳威尔之间存在实质的和无法调和的分歧。

• 直觉主义与形式主义的不同在于对数学科学的“精确有效性”的来源的不同回答：直觉主义者说，在人类理智中，而形式主义者说：在纸上。

• 对布劳威尔来说，与对康德来说一样，大部分数学真不能得到“分析的证明”，它们不能仅仅通过概念分析而被认识，并且它们并非由于意思而为真，所以大量的数学是综合的；数学的真是先天的，独立于任何特殊观察或其他我们可能具有的经验。

• 布劳威尔是本体论上的反实在论者和真值上的反实在论者，并且他绝不是经验主义者，像康德一样，布劳威尔试图在实在论和经验主义之间锻造一种综合体。

• 布劳威尔重申了康德的主要话题，人类不是被动的自然观察者，而是在组织经验的过程中扮演了一个积极的角色，数学关注的就是这种积极的角色。

• 布劳威尔承认，19世纪数学的发展使康德对于几何的观点站不住脚，严格性的产生引发了认为逻辑推理是独立于内容的观念，对射影几何多解释的发展也支持了只有几何定理的逻辑形式有关系的观点，这让“纯直观”在几何学中没有了空间。

• 非欧几何的出现和被接受使布劳威尔抛弃了康德的空间观，取而代之的是，他提出把所有的数学建立在康德式的时间观上，其根本的观点可能是把自然数建立在时间知觉的形式上。

• 布劳威尔陈指出，时间观这种基本直觉把“联系的和分离的”东西统一起来，每个时刻都是独一无二的，又仍然是与每个其他时刻相联系的；这种原始直觉还使“连续的和离散的”东西统一起来并且立即就引起了线性的连续统的直觉，时间的各时刻是截然不同的，但它们仍然是连续地流逝的。

• “在…之间”的概念引出了有理数，并最终引出实数，我们先天地知道任何两个时刻之间存在第三个，时间的连续统不会被插入新的单位所耗尽，因而不能被想成仅仅是一些单位的聚集，因此自然数和实数（离散的和连续的）都建立在时间的直觉之上，这就产生了算术和实分析。

• 布劳威尔按照标准的笛卡尔式的技巧，通过将点定义为数对而把几何建立在实数上，这就使普通平面和立体几何以及非欧几何和n维几何得以成为先天综合的，所以几何学最终也基于时间的直觉。

• 布劳威尔非常明确地认为，数学的本质是理想化的精神的构造，布劳威尔对排中律的摒弃来源于他对数学采取构造的观念。

• 令P为自然数上的性质，并且考虑命题：存在自然数n满足P对n成立；用符号表示即∃nPn；对直觉主义者来说，这条命题只有当一个人证明了如何构造一个具有性质P的自然数n才能被确立。

• 对于双重否定┐┐∃nPn，只有当一个人证明了假设┐∃nPn是矛盾的才被确立，而从假设┐∃nPn构造一个矛盾不是去构造一个自然数n满足Pn，所以布劳威尔认为，双重否定消去是无效的。

• 布劳威尔承认，经典分析可能是“适于科学的”，但它比直觉主义分析具有“更少的数学真”，因为经典分析违背了依赖心灵的数学构造的本质，这是在数学和经验科学间做出的大胆的分离。

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