《数学哲学》三大主义（二） (5-1)

5.科里

• 科里认为，随着一门数学分支的发展，在其方法论上会变得越来越严格，结果是该分支在形式演绎系统中被编集成典，科里把这种形式化的进程作为数学的本质。

• 科里声称，所有其他数学哲学都“依赖于形而上学的假设”，数学应该不受任何此类假设的限制，而只有形式主义没有额外的形而上学假设。

• 科里的形式主义的主要论点是，一个成熟的数学理论的论断不应该被解释为某一特定的演绎系统之中若干动作的结果，而应该是关于一个形式系统的论断。

• 对科里来说，数学是一门关于形式系统的客观科学，或者说数学就是元数学。

• 不同于希尔伯特，科里并不把元数学限于有穷元算术；他承认某种“直观”处于这种元数学中，但他声这种直观的形而上学本性是无关紧要的。

• 按照科里的观点，元数学本身也是数学的一个分支，它也应该被形式化，也就是说，元数学中的非有穷元结果应通过建立元数学的一个形式系统而被纳入考虑，并且把问题的结论解释为关于那个形式系统的定理。

• 对科里来说，不存在真正的关于一个给定形式系统的真的问题，而只存在关于引导我们对某个形式系统感兴趣而非另一个的考虑的问题，这个关于“兴趣”的问题在很大程度上是实用主义的。

• 科里提到三种形式系统的“可接受性的标准”：（1）前提的直观自明性，（2）一致性，（3）该理论整体的有用性。

• 科里认为，形式系统的一致性并不要求一个一致性的证明，即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼。

• 由于在接受一个形式系统之前没必要去证明一致性，科里的哲学不会受哥德尔第二不完全性定理的影响；由于科里并不把数学限制于单个形式系统，他的哲学也不受哥德尔第一不完全性定理影响。

• 科里式形式主义的反对者质疑其观察（即随着某个数学分支的发展并变得严格，它就会被形式化）的哲学意义，一些逻辑学家坚持认为，在形式主义中一些本质的东西丢失了。

三、直觉主义

• 直觉主义试图把对排中律的教条的坚持解释为：经典逻辑对一组广泛的简单日常现象而言的实践的有效性，这个事实造成了一种强烈的印象，以至于经典逻辑被看作不仅是有用的还是先天的。

• 直觉主义一方面精细化逻辑，另一方面谴责把逻辑作为真的来源；直觉主义数学是内在的建筑学，而数学基础的研究是内在的查问。

1.修正经典逻辑

• 数学实践本质上是一种精神活动，数学家的主要工具是他们的心灵。

• 令Φ为一命题，那么相应的排中律的实例就是命题，或者是Φ或者不是Φ所说的情况，记作Φ或非Φ；直觉主义是用以指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语。

• 包括排中律的常见的逻辑系统被称作是经典的，遵循经典逻辑的数学被称作经典数学，而没有排中律的较弱的逻辑被称为直觉主义逻辑，而对应的数学是直觉主义数学。

• 直觉主义逻辑缺少其他一些依赖排中律的原理和推论，其中之一是双重否定消去法则，它允许人们从Φ的否定的否定推出Φ；运用直觉主义逻辑，一个人可以从Φ推出非非Φ，但反过来不行。

• 直觉主义者认为，排中律及其相关推理显示了对数学对象的独立存在和对数学命题独立于数学家而为真或为假的信念，排中律是本体论的实在论和真值的实在论的推论。

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