《数学哲学》三大主义（一） (10-1)

目录

一、逻辑主义 ▹

1.弗雷格 ▹

2.罗素 ▹

3.卡尔纳普和逻辑实证主义 ▹

4.当代观点 ▹

二、形式主义 ▹

1.基本观点和弗雷格的冲击 ▹

2.演绎主义—-希尔伯特的《几何基础》▹

3.有穷主义—-希尔伯特计划 ▹

4.不完全性 ▹

5.科里 ▹

三、直觉主义 ▹

1.修正经典逻辑 ▹

2.老师—-布劳威尔 ▹

3.学生——海丁 ▹

4.达米特 ▹

参考文献 ▹

摘要：逻辑主义者认为，数学可被归化为逻辑，数学的对象可以用逻辑词项来定义，而数学定理可以由逻辑原理推导出来。形式主义者认为，数学的本质是对字符的操作，一个字符列表和一些所允许的操作的规则几乎穷尽了关于一个给定的数学分支所要说的一切。直觉主义者认为，数学实践本质上是一种精神活动，数学家的主要工具是他们的心灵，而且经典逻辑中的排中律是不成立的。

一、逻辑主义

• 康德认为数学是先天的，即它是独立于感觉经验而可知的，数学还是综合的，即它不能由对概念的分析来判定。

• 密尔认为数学是经验的、后天的，20世纪的数学家大多认为数学是分析的或近乎分析的，即它可以由对概念的分析来判定。

• 逻辑主义者认为数学可被归化为逻辑，数学的对象可以用逻辑词项来定义，而数学定理可以由逻辑原理推导出来。

1.弗雷格

• 弗雷格认为，一个命题是先天的，即它是一个不可证明的“普遍法则”，或者它有一个仅依赖于不可证明的“普遍法则”的证明；

• 弗雷格认为，一个命题是分析的，即它是“普遍逻辑法则”，或者它有一个仅依赖于“普遍逻辑法则”的证明。

• 弗雷格认为，只有可知的或可证明的命题才能是先天的或分析的，由于算术和实分析是分析的，每个关于自然数或实数的真都是可证明的，或者是不可证明的普遍逻辑法则或定义。

• 如果存在一个概念下的对象和另一个概念下的对象的一一对应，就说这两个对象是等数的，这样可以判断两个集合是否相同。

• 对任意概念F和G的数，当且仅当F和G是等数的，F的数等于G的数（休谟原理），这里“F的数”是指称一个对象的语法形式。

• 弗雷格是一个本体论的实在论者，相信自然数是独立存在的，也是一个真值的实在论者，认为数学陈述有客观的真值。

• 令概念Z为“不等于自身”，由于每个对象都等于自身，没有对象适合于Z，对于所有的对象a，Za是假的，自然数0被定义为Z的数。

• 自然数n在自然数序列中紧跟在m后，当且仅当存在概念F和此概念下的一个对象x，概念F的数是n，而概念“F之下但不等于x”的数是m。

• 令概念T为“等于零”，对于所有的对象b，Tb是真的当且仅当b=0，因此T恰好对一个对象（自然数0）成立，自然数1被定义为T的数。

• 定义自然数2为概念“或等于零或等于1”的数，对其他自然数的定义以此类推。

• 令n为任意自然数，考虑概念Sn为“以n结尾的自然数序列中的成员”，对任意对象a，Sna成立当且仅当a是小于或等于n的自然数；弗雷格证明了概念Sn的数是n的后继，即n＋1，这就确立了无穷多的自然数的存在。

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