《数学哲学》三大主义（一） (10-9)

• 只具有有界量词的句子是有穷元的（能行可判定的），包含由字母来表示的概括的句子也是有穷元的，但这种句子没有有穷元否定。

• 希尔伯特认为，数学不可能只建立在逻辑之上，有穷元算术考虑的是某种意义上是人类思维（甚至逻辑演绎）的前提，而这是为了一致地思考。

• 希尔伯特更希望有穷元算术中研究的字符被理解为抽象的型而非物理的例次，“具体的符号”是在观念中被给出的，而且就像被直接经验到的那样是先于所有思维而被直观到的。

• 希尔伯特认为，有穷元算术的主题对所有人类思维来说是本质的，这里和康德的想法类似。

• 第一个超越有穷元算术的领域由含有无界量词的关于自然数（或字符）的陈述组成，这包括含有用来概括的字母的有穷元陈述的否定，然后有了实分析、复分析、泛函分析、几何、集合论等等，希尔伯特把所有这些封为“理想数学”。

• 数学由两种公式组成：第一种是那些有意义的有穷元陈述的表达所对应的公式，第二种是不表示任何东西的公式，它们是我们理论的理想模型。

• 理想数学每个分支的句法和推理规则将被精确地形式化，而该分支将被当作似乎是一种字符游戏来研究，这里实质演绎被一种由规则控制的形式的程序所代替，这些“规则”来自于像由弗雷格这样的逻辑学家所开发的演绎系统中。

• 对形式化的理想数学分支的唯一的严格要求是，人们不能用它导出一个对应于假的有穷元陈述的公式，即形式系统应该是有穷元算术的保守扩张。

• 形式化理论T是一致的是指，利用T的公理和规则不可能导出矛盾公式，如果每一个真的有穷元陈述对应于T的一条定理且T使用标准的演绎系统，那么T 的保守性等价于它的一致性，所以理想数学的要求就是一致性。

• 对希尔伯特计划至关重要的是，把自然数同字符等同起来使有穷元算术可以应用于元数学，形式系统自身现在也处于有穷元算术的范围之中。

• 如果T是一个形式化的公理系统，那么T是一致的这一陈述本身是有穷元的，利用概括的字母可以公式化；T是一致的这一陈述有这样的形式：a不是T中的一个推理，其最后一行是“0≠0”。

• 希尔伯特计划的最后一步是给出那些完全形式化的数学理论的有穷元的一致性证明，一旦对理论T 完成这一步，我们就达到了认识论的目的。

• 冯·诺依曼给出了一份希尔伯特计划的简要概括，涉及4个步骤：（1）枚举所有数学和逻辑中用到的符号；（2）明确地特征化这些符号的所有表示经典数学中被归为“有意义的”陈述的组合，这些组合被称为“公式”；（3）提供一种构造程序，它使我们能够成功地构造所有对应于经典数学中“可证”陈述的公式，这种程序被称为“证明”；（4）（以一种有穷元的方式）证明那些对应于经典数学的陈述的公式（这一对应可以用有穷元算术的方法来检查）可以由（3）中描述的程序证明，当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的（这一点是有问题的）。

• 4.不完全性

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