《数学哲学》三大主义（一） (10-10)

• 哥德尔（第一）不完全性定理对希尔伯特计划的认识论目的给予了致命打击，它的表述如下：令T为一个包含一定量算术的形式演绎系统，并假设T的句法是能行的，即存在一种算法来判定一组给定的字符序列是否是一条符合语法的公式和一种算法，以判定一组给定的公式序列是否是一个T中合法的演绎；在T的语言中存在一个句子G，使得（1）如果T是一致的，那么G不是T的定理；（2）如果T具有比一致性更强一点的性质，称为“ω-一致性，那么G的否定不是T的定理，也就是说，如果T是ω-一致的，那么它无论如何都无法判定G。

• 该公式G具有有穷元陈述的形式，所以如果T是一致的，那么G是真的但不可证，因此哥德尔的结果摧毁了找到单个形式系统来把握所有经典数学或只是所有算术的希望。

• 哥德尔证明了不完全性定理背后的推理可以在给定的形式系统T之中重新演绎，如果“在T中可证”的公式化满足某些简单的要求，那么我们可以在T中推出一句这样的句子：如果T是一致的，那么G不能从T中推出。

• 由于“G不能从T中推出”等价于G，因此我们可以在T中推出一句这样的句子：如果T是一致的，那么G，而这与哥德尔（第一）不完全性定理相矛盾。

• 如果T是一致的，那么一个人不可能在T中推出“T是一致的”这句所需的陈述，即任何一致的（含有一定量的算术的）理论都不可能证明自己的一致性，这就是哥德尔（第二）不完全性定理。

• 令PA为（理想的）算术，例如经典自然数理论的形式化，希尔伯特计划要求对PA的一致性给出一个有穷元证明，但是第二不完全性定理指出，如果PA确实是一致的，那么PA一致性的直接陈述在PA自身中无法推出。

• 哥德尔之后对希尔伯特式的计划的辩护至少有两种选择，其一在第二不完全性定理证明中用到其他方法来表示一致性性质，而这种方式能避开第二不完全性定理；其二是去证明或声明，有穷元算术的方法不能在PA中或其他任何形式理论中被完全把握，即有穷元算术是天生非形式的。

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