《数学哲学》三大主义（一） (10-8)

• 根据演绎主义，数学什么都不是或者可以被当作是什么都不关于的，数学知识是从什么推出什么的知识，即逻辑的知识，应用一个数学分支的方法是通过发现使它的公理为真的解释。

• 演绎主义是一种与与几何学发展非常匹配，那些关键事件包括解析几何的出现和成功，以及作为回应的射影几何，纳入理想和想象元素的尝试，n维几何的发展，把非欧几何吸收进主流数学与欧氏几何并列而不是取而代之。

• 帕什认为，在进行推理的时候，几何学应该以形式化的方式出现，而无需依赖直观或者观察。

• 希尔伯特在《几何基础》中指出，直观和观察的角色被明确地限定为动机并且是启发式的，一旦那些公理被形式化，直观和观察就被排除，因为它们并不是数学的一部分；任何东西都可以扮演点、线、面等未定义的初始词项的角色，只要公理被满足。

• 希尔伯特的几何学公理化的一个主要的特征是公理方法在抽象的数学观的精神下被呈现和实践，这种数学观在于对词项直观意义的抽象以及以假言的意义理解公理化理论的论断（定理），即对任意满足公理的解释为真。

• 一套公理系统不是一套关于研究主题的陈述的系统，而是一套关于关系结构的条件的系统，这里逻辑依赖关系本身成为被思考的对象。

• 形式语言和演绎系统被公式化得足够清楚和严格，以至于它们自己可以被作为数学对象来研究，因而数学家可以证明关于形式系统的东西，这种努力被称为元数学。

• 使用解析几何中的方法，希尔伯特在《几何基础》中利用实数构造了一个所有这些公理的模型，因而证明了这些公理是“相容的”，即这些公理是可满足的。

• 希尔伯特给出了一系列模型，在其中他的一条公理为假，但其他的公理成立，由此证明了每条公理相对其他公理独立。

• 元数学的目标是阐明一种名为形式语言和公理化的研究对象，这样元数学似乎是演绎主义主题（主张数学不需要研究对象）的一个例外。

• 对演绎主义者来说，一种解决方案是主**数学不是数学，但元数学可以被公式化，而且元数学在形式语言和演绎系统上的应用与它作为一个数学分支的本质是不相干的。

• 根据弗雷格，定义应该给出意义并且确定词项的所指，而公理和定理永远不可能试图去确定在它们里面出现的一个词项的意思，而要求它必须已经被确定了。

• 希尔伯特为像“点”、“线”和“面”等词项提供的是隐定义或功能定义，即通过几个项之间彼此的关系同时特征化它们，一个成功的隐定义会抓住一个结构，但是弗雷格并不采纳这种观念，至少不把它作为定义。

• 对希尔伯特来说，一个公理集的一致性足以使它们构成数学的一个合法的分支，一致性是数学家所需要的全部“真”和“存在”。

3.有穷主义——希尔伯特计划

• 希尔伯特计划有一个明确的认识论目标，即一劳永逸地建立起对数学方法的确信，它将建立在先前公理化各个数学分支的工作以及严格逻辑系统之上，这一计划背后的想法是要仔细严格地形式化数学的每个分支及其逻辑，然后去研究该形式系统以确认它们是一致的。

• 希尔伯特计划的核心是“有穷元算术”，它的判断是有意义的，它们具有研究对象，这些研究对象就是那些具体的符号本身，其结构是直接地清晰和可识别的。

• 有穷元算术包含的陈述所提到的性质和关系都是能行可判定的，即存在一种算法来计算是否具有这些性质和关系。

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