《数学哲学》三大主义（一） (10-7)

• 我们不能把实数等同于它们的名字，因为大多数实数没有名字；若把一个无理数展开为小数，得到的是一个无穷的对象，也不是一个语言符号。

• 词项形式主义可能引入一个关于有终止的小数之极限的理论，比如把π等同于符号“3”,“3.1”,“3.14”,…的极限，然而这样就很难看出词项形式主义的任何优势。

• 假设词项形式主义者成功解决了这个困难并且提出一种像样的实数语言的替代物，这种观点仍然只抓住了数学计算，而没有抓住数学定理。

• 游戏形式主义把数学实践比喻成一个玩弄语言字符的游戏；它的激进版本断言数学符号是无意义的，数学公式和句子不表示关于任何研究对象的真假命题；它的温和版本承认数学语言可能有某种意义，但这些意义对数学实践是无关的。

• 在游戏形式主义的语境中，“语言”和“符号”这样的词语容易引起误解；我们用语言谈论事物，通常这些事物不是语言本身，而符号在一般的用法下是用来表示某个东西；这正是游戏形式主义所否认的，因为数字不代表任何东西，或者它不代表任何东西也无妨。

• 弗雷格声称，他的逻辑学的目的之一是把正确的推理整理成系统，为此他提出了一套可以被形式地理解的演绎系统，而这促成了游戏形式主义的精致版本。

• 弗雷格指出，我们赋予句子的意义会使它们有趣，而且这种意义可以提示推理的策略；游戏形式主义者可能同意这一点，但会指出，数学表达式的意义对数学自身是外在的。

• 游戏形式主义者留下了一个令人气馁的问题：为什么数学游戏对科学如此有用？数学在数学内部中的应用也引起类似的问题：为什么复分析的游戏在实分析和算术的游戏中有用？

• 游戏形式主义很像科学哲学中的工具主义，根据工具主义，理论科学无非是一套为了预测可观察的物理世界的复杂工具，因此工具主义避免了要解释的关于理论实体知识的认识论问题，但有了一个未解决的问题，即解释为什么这个工具可以工作得这么好。

• 弗雷格认为，算术可以被应用，是因为它表达思想，而像象棋这样的游戏不表达思想，把算术从游戏提升到科学层次的只是可应用性。

• 托梅指出，算术的规则可能是为了某些应用的目的而选择的，但是这些应用对数学家来说是无关的；弗雷格的回应是：可应用性的问题不会因为形式主义者或甚至数学家拒绝处理它就消失。

2.演绎主义——希尔伯特的《几何基础》

• 弗雷格指出，我们无法得知，算术游戏的规则会引导我们从真到真，游戏的规则不能是任意的，而必须构建逻辑的推论。

• 一名演绎主义者接受弗雷格的观点，认为推理的规则必须保证为真，但他坚持各种数学理论的公理应该被当作似乎是任意约定的来处理；数学实践由判定未经解释的公理的逻辑推论构成，数学家可以自由地把数学的公理（和定理）当成无意义的，或者随意给它们一个解释。

• 我们应该区分逻辑词项（如“并且”和“如果…那么”）和非逻辑的（数学的）词项（如“数”和“集合”），逻辑词项按照其一般意义理解，而非逻辑词项则不予解释，或者被当作似乎是没有解释的来处理。

• 令Φ为算术的一条定理，按照演绎主义，Φ的“内容”是Φ从算术公理推得，演绎主义有时候被称作“如果那么主义”。

• 演绎主义与“逻辑是话题中立的”相符合，如果一个从前提集合Γ到结论Φ的推理是有效的，那么在任何使所有Γ中的前提为真的解释下Φ也为真，演绎主义的想法是略过解释而专注于推理。

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