《数学哲学》三大主义（一） (10-6)

• 从休谟原理我们得出：与自身不等的东西的数和与自身不等的东西的数是相等的；令“0”指称与自身不等的东西的数，我们就得到0＝0，因而零存在。

• 新逻辑主义者接着定义自然数1为概念“等于0”的数，定义自然数2为概念“等于0或1”的数，然后按照弗雷格的方式继续；这些自然数是不同的，因而在有穷领域里休谟原理不会被满足。

• 新逻辑主义者要求休谟原理是非直谓的，即惯用语“F的数”中变元F的具体取值可以是那些需要用到自然数来定义的概念。

• 怀特和海尔止步于声称休谟原理是逻辑真理（“普遍逻辑法则”），休谟原理不是由于其形式就是真的，也不是从被接受的逻辑法则推出的；怀特和海尔也没有声称休谟原理是一个对基数的定义，它既不是可消除的也不是非创造的。

• 新逻辑主义者声称，休谟原理是对自然数概念的分析，因此该方案保留了至少那些基础算术真的必然性，并且展示了这些真是怎样先天地被认识的。

• 与最初的弗雷格逻辑主义一样，新逻辑主义的方案只有在二阶逻辑（允许量化性质）确实是逻辑的前提下才有机会获得成功；新逻辑主义的问题是二阶逻辑的公理和规则在必要的意义上是否是分析的或意义构成的，抑或是没有实质上的认识论预设的。

• 新逻辑主义方案为至少一些抽象原理辩护，怀特承认他的计划要依靠一个附加条件，即接受通过抽象的概念构成。

• 布洛斯提出，没有一种非专门的方法用来区分像休谟原理那样的好的原理和像基本法则五那样的坏的原理，怀特的回应是界定并为某种保守原理辩护，这种保守原理会排除坏的抽象原理并且允许好的抽象原理，尤其是休谟原理。

二、形式主义

• 在“形式主义”之下的不同哲学在追寻一种主张，即数学的本质是对字符的操作，一个字符列表和一些所允许的操作的规则几乎穷尽了关于一个给定的数学分支所要说的一切。

1.基本观点和弗雷格的冲击

• 词项形式主义把数学看作是关于字符和符号（数字和其他语言形式）的系统，也就是说，词项形式主义把数学实体和它们的名字等同起来。

• 根据词项形式主义，数学有一个研究对象并且数学命题或真或假，而数学知识就是关于字符如何彼此关联以及它们在数学实践中怎样被操作的知识。

• 对于最简单等式0=0，词项形式主义者把它理解为“类型‘0’与自身相等”，这里的“类型”在语言学中是和“个例”相对的。

• 相比本体论的实在论（直接断言数存在），词项形式主义可以认为，类型不同于数，它们有直接的实例，即它们的个例，并且我们通过它们的个例来认识关于它们的事情。

• 海涅主张，我们把名字数赋予特定的有形记号，这样一来这些数的存在就是确定的，而托梅宣称，前述立场让我们摆脱了所有形而上学的困难；这是它提供给我们的优势。

• 弗雷格反对他们的观点，对于等式5+7=6+6，等号两侧的符号和类型不一样，这两个符号也不能指称相同的数，因为词项形式主义认为字符只指称它们自己，词项形式主义不能把记号解释为等同。

• 弗雷格站在词项形式主义立场上把等式解释为，在算术中，符号“5＋7”可以在任何地方被“6＋6”替代而不改变真值，也就是说，一个形式为“A＝B”的句子表示A对应的符号与B对应的符号在任何数学语境中都可以相互替代。

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