《数学哲学》三大主义（一） (10-5)

• 卡尔纳普认为，关于数的实在性的外部问题是无意义的，最接近合法的问题是采纳一个给定的数框架的可行性，而这是一个实用主义的问题，即卡尔纳普的数框架相比其他框架（例如罗素的分枝类型论）是否更好地服务于科学的目的。

• 按照哥德尔和拉姆塞，非直谓定义可接受是因为数和类有一个独立的存在，而卡尔纳普在实用主义的基础上为非直谓定义作辩护，他的数框架对于科学目的远比分枝类型论来得方便。

• 逻辑实证主义者认为，数学的真并不由经验决定，数学的真是先天的，总是成立的，然而作为经验主义者，他们认为，每个事实性的问题必定最终由经验决定，所以逻辑实证主义者得出的结论是：数学的真没有事实性的内容。

• 逻辑实证主义者排除了先天可知的综合命题的可能性，一个命题是综合的，仅当它的真或假取决于经验的事实，而一个命题是分析的，即它的有效性仅取决于它所含的符号的定义。

• 欧几里得几何被构造为一个纯数学理论，它是一个卡尔纳普式的语言框架，其中的定理是分析的，由其定义而真；另外有实用主义的或科学的议题来考虑在物理学中采用这一框架而不采用某个非欧几何的适当性问题，而这不是一个数学问题。

• 数理逻辑的成功引导实证主义者去尝试一种证实的逻辑，能够把经验观察与科学和数学理论联系起来，但是目前还没有一种有说服力的证实逻辑出现；这些失败导致难以形式化实证主义的中心论题，即每个事实性的（非分析的）陈述都是可证实的。

• 卡尔纳普的学生蒯因认为，不存在分析陈述和综合陈述之间的区分，在决定有意义的陈述的真与假上，语言的角色和世界的角色并没有明确的区分。

• 蒯因提出一套关于科学语言的全盘的方案，其中观察、理论和数学陈述彼此联系，数学的真是以与科学的真和观察报告的真同样的方式而为真的，这些真不是必然的，也不是先天地被认识的。

• 对于卡尔纳普，在认识论上，数学命题可以被精确划分为一些自足的群，每个命题都连接着它的框架，框架的规则的知识正是关于所有的命题的真假的知识。

• 哥德尔不完全性定理是：如果D是可演绎的系统并且包含一定的算术，那么存在D的语言中的一些句子不能被D的规则判定，所以算术语言中的某些陈述在一个自然数框架规则的基础上是不可知的，没有数学理论能成为像卡尔纳普的语言框架被假想的那样自足的。

• 逻辑实证主义者的一个补救措施是保留这样的论题：数学陈述是由于它们的意义为真，而承认人们可以拥有必要的知识来理解一个给定的真命题，却不具备认识到它为真的智慧；这就需要一个丰富的并且开放的逻辑后承概念，在宣布一个对数学知识的理解之前必须先阐明这个后承概念。

4.当代观点

• 新逻辑主义者坚持下列观点：（1）数学真的重要核心是先天地可知的，通过从那些（几乎是）分析的或意义构成的规则推导而得；（2）这样的数学是一个关于对象的理想王国，它是客观的，在某种意义上独立于心灵的。

• 通过我们在使用数学语言时所表达的意思的知识，新逻辑主义者试图去重新解决传统逻辑主义中发现的问题。

• 新逻辑主义的方案是绕过弗雷格对外延的处理而直接在休谟原理上工作，休谟原理的右侧给出了左侧为真的条件，而左侧具有恰当的语法逻辑形式，至少有一些满足休谟原理的右侧的例子是只在逻辑基础上为真的。

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