《数学哲学》三大主义（一） (10-4)

• 切割对应于所谓的有理数上的戴德金分割，罗素把实数等同于切割（实数是一个有理数的类）；我们可以定义实数上的序关系以及加法和乘法运算，然后证明实数是一个全序域；特别地，我们可以得到完全性原理，即每个有界实数类都有一个最小上界。

• 对于实分析，罗素还需要一个选择公理：对任意由非空且两两不交的类组成的集合，至少存在一个类，正好含有此集合中每个成员中的各一个成员；就像无穷公理和可化归公理，选择公理无法仅从逻辑原理得出。

• 罗素定义一个复数为一个实数的有序对。

• 在逻辑学中，我们不研究特殊的事物或性质，而是形式地研究那些可被称为任何事物或性质的东西，逻辑是完全一般的和普适的。

• 在罗素的体系中，数的地位就取决于类的地位，而他否认了类的独立存在，它们是逻辑虚构，因此不是“世界的最终构成物”的部分；罗素背离了弗雷格在本体论上的实在论立场。

3.卡尔纳普和逻辑实证主义

• 密尔认为，数学是综合的和后天的，而逻辑实证主义者认为，数学是分析和先天的。

• 维特根斯坦、弗雷格和卡尔纳普等哲学家开发并完善了许多在数理逻辑和哲学领域中使用的工具和概念，其中最主要的洞见是把必然性和先天知识的来源定位于语言的使用中：必然的真是由定义而真，先天知识是语言使用的知识，达米特把这条道路称作哲学的语言学转向。

• 弗雷格认为数必然地独立于数学家而存在，而罗素认为数不存在，但经验主义者卡尔纳普认为，关于数的存在的形而上学问题不能通过观察来判定，并否认了关于数学对象存在性的争论的意义。

• 卡尔纳普指责哲学家们到目前为止都没有在普通科学语言术语中表述他们的问题，因此他们尚未成功地赋予本体论问题任何认知内容。

• 卡尔纳普的想法假设，科学具有最好的，甚至可能是唯一的通向真的路线，因而任何有意义的问题必须以科学的术语提出。

• 我们必须区分两种关于存在的问题：第一种是关于框架中的某个特定的实体之存在的问题（内部问题），第二种是把这些实体的系统作为整体来考虑其存在或实在性的问题（外部问题）。

• 内部问题和其可能的回答可以被公式化，这些回答可以通过纯逻辑方法或经验的方法找到，这取决于其框架是逻辑的抑或是事实的，而外部问题在需要仔细检查上是一个有问题的特征。

• 一个“语言框架”是形式地描绘一段话语的一种尝试，它包括一套精确的语法，以指示哪些表达式在该框架中是合法的句子，并且还包括这些句子的使用规则；某些规则可能是经验的，用以指示，其他的规则是逻辑的，指示什么推理是允许的以及哪些句子是可以断言的，后者被称为分析的真。

• 卡尔纳普则把他的系统视为一个语言框架，在开发一个框架的过程中，人们可以自由地约定系统的规则，只要那些规则是清晰明确的，因此卡尔纳普更喜欢拉姆塞的避免了可化归公理的非直谓的简单类型论。

• 卡尔纳普简单绘制了一个称为“数的系统”的语言框架，它的语法包括数字、变元和算术运算的符号，这个框架包含算术所需的“惯常的演绎规则”。

• 对于“数框架”，首先有内部问题，其回答不是通过基于观察的经验调查而得到，而是通过基于新的表达规则的逻辑分析，因此该回答是分析的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。