《数学哲学》三大主义（一） (10-3)

• 对任意类C，定义C的数为由所有与C等数的类组成的类，一个自然数就是某个类的数；一个类α的数的后继是包含α以及任何一个不属于α的个体x的类的数。

• 自然数0被定义为由所有无成员的类型1的类组成的类，所以0是一个类型2的类，其下有且仅有一个成员，即类型1的空集；自然数1被定义为由所有有唯一成员的类型1的类组成的类，所以自然数1也是一个类型2的类，并且它有与个体的个数一样多的成员；下面的自然数定义依此类推。

• 对弗雷格来说，自然数0是概念“不等于自身”的数。这与罗素的方案是相符的，其中0是一个类型2的类；弗雷格提议自然数1为概念“等于0”的数。用类的概念来说，自然数1是｛0｝的数，但｛0｝是类型3的，因而这个类的数是类型4的。

• 对罗素来说，每个自然数都是类型2的类，他不能接受弗雷格关于存在无穷多自然数的证明，因为那个证明需要把自然数当作个体那样来处理。

• 对罗素来说，一个给定的自然数是否存在取决于宇宙中有多少个体，即非类对象；罗素和怀特海提出了一条无穷公理，该无穷公理陈述存在无穷多个体，它无法被证明，不是先天的、分析的，但对算术似乎是必要的，它保证了每个自然数以及它的后继的存在。

• 弗雷格证明了每个自然数存在，但他的证明是非直谓的，违反了类型上的限制，而罗素必须为每个自然数的存在假设足够多的个体的存在。

• n是一个自然数，当且仅当n属于每个包含0及它的每个成员的后继的（类型3的）类；这个定义是非直谓的，所有自然数的类是一个通过涉及类型3的“每个类”来定义的类型3的类。

• 罗素和怀特海提出了“分枝类型论”：一个类型1的类是“直谓的”，或0层的，即它可以不用到类而被定义；一个类型1的类是1层的，即它不是直谓的但可以只用到直谓的类而被定义；一个类型1的类是2层的，即它不是1层的但可以只用到1层的类而被定义，依此类推。

• 罗素和怀特海意识到他们不能在层的限制下充分发展出数学，因为一些至关重要的定义似乎需要非直谓定义，比如归纳原理。

• 罗素和怀特海提出了可化归公理：在每个类型中，对每个类都存在一个直谓的（0层的）类与它有相同的成员；可化归公理表明，在第一层以上不会再有新的类生成，这就允许罗素和怀特海把“所有类”的用语限制为“所有直谓的类”，然后开始那些算术基本原理的推导。

• 利用无穷公理和可化归公理，罗素和怀特海建立了标准的皮亚诺算术公理，因而建立了所有关于自然数的常见定理，并把这一成果推广到更高等的数学分支。

• 令m为自然数，整数＋m被定义为自然数上（对任意n）n＋m到n的二元关系；自然数是一个类的类（类型2的类），而而整数是一个自然数上的关系。

• 有理数被定义为反映整数之间比率的关系，分数m/n被定义为当xn＝ym时x和y两数之间所具有的关系；有理数和整数与自然数都不同，它是一个整数上的关系。

• 定义一个“切割”（section）为一个非空的有理数的类c并满足：（1）对所有有理数x和y，如果x属于c且y＜x，那么y属于c；（2）存在有理数z，满足对每个有理数x，如果x属于c，那么x＜z；（3）对每个有理数x，如果x属于c，那么存在有理数y属于c且x＜y，也就是说，一个切割是一个联结的、有界的、没有最大元的有理数的类。

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