《数学哲学》三大主义（一） (10-2)

• 当且仅当对任意概念F，若F对0成立并且对每个对象d，从命题d在F之下可得到d的每个后继在F之下，那么n在F之下，n是一个自然数。

• 弗雷格证明了诸如归纳原理的常见算术命题如何从这些定义得出，这一从休谟原理对基本算术原理的导出现在被称为弗雷格定理。

• 休谟原理决定“F的数＝G的数”这种形式的等同，但它不能决定“F的数＝t”（t是任意专名）这种形式的句子的真值。

• 一个概念的外延是这个概念适用于其上的所有对象的类，概念F的数被定义为“与概念F等数”这个概念的外延。

• 弗雷格证明了休谟原理如何从这些定义中得出以及外延的其他一些常见性质，完成了对算术的导出和关于自然数的逻辑主义的确立；弗雷格成功地证明了算术是分析的，这严格地把运用算术解释为对概念和对象的集合的计数。

• 算术原理可由逻辑法则推导出这一论题与逻辑学本身没有本体论的观点是对立的，不存在特别的逻辑对象；因为存在无穷的自然数，所以如果逻辑对存在多少对象无所述说，那么人们就不能在逻辑中定义自然数。

• 对弗雷格来说外延紧密联结于概念，因此逻辑学有本体论，逻辑对象包括一些必然存在的概念的外延，因此逻辑对象必然存在，也因此逻辑的必然性得以保持。

• 弗雷格明确区分了逻辑学与特殊科学，由于逻辑学是普适的，逻辑学是话题中立的，即逻辑真是绝对普遍的，对概念和它们的外延的使用没有损害它的中立性。

• 弗雷格并没有把他的逻辑主义推广到几何学。在这一问题上他是个康德主义者，认为欧几里得几何的原理是先天综合的，几何学有一个特殊的非普遍的研究对象，即空间。

• 弗雷格的基本法则五是：对任意概念F和G，F的外延等于G的外延当且仅当对任意对象a，Fa当且仅当Ga。

• 罗素发现弗雷格的基本法则五是不一致的（罗素悖论），令R为恰在下述情况下对x成立的概念：存在概念F，使x是F的外延且Fx为假；令r为R的外延，假设Rr为真，那么存在概念F，使得r是F的外延且Fr为假，由基本法则五就可以得出Rr也为假，因为r也是R的外延；又因为Rr是假的，存在概念F（即R），使得r是F的外延且Fr为假，所以R对r成立，因而Rr为真。

2.罗素

• 罗素认为弗雷格对自然数的解释本质上是正确的，他不同意弗雷格的说法：由于基本法则五带来的矛盾，算术的唯一可能的基础似乎消失了；对基本法则五只要做恰当的理解，它就是关于“外延”或“类”的正确定义。

• 从基本法则五到悖论的推理援引了一个谬误，一个对数学实体的定义是“非直谓的”是指该定义涉及包含这个被定义实体的集合，罗素主张非直谓的定义是不合理的，因为它们是循环的；若要通过一个变元生成一个新的对象，这个新的对象必须不在此变元可取的值的范围内。

• 罗素悖论的形成违反了“恶性循环原则”，为了产生该悖论，我们定义概念R“满足x当且仅当存在概念F，x是F的外延且Fx为假”，R的这一定义涉及所有概念F，且R正是这样一个概念F，因此R的定义是非直谓的，对非直谓定义的禁止排除了做出这种假设的可能。

• 罗素提出了类型论，将宇宙划分为不同部分：把“个体”定义为不是类的对象，个体属于类型0，而个体组成的类属于类型1，个体类的类属于类型2，依此类推。

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