《数理哲学导论》（一） (10-9)

• 一个序数是一个第二类序数就是：假若它是某一个序列的序数，那么这序列的关系域必有ℵ₀项。假定第二类序数的任意一个序级有一个极限，而且这极限也是一个第二类序数这样一个命题算是已经证明。从这命题我们可以推论出一个系来：ω1（最小的第三类序数）不是任何序级的极限。

• 一个自反数必定是非归纳的，但是逆命题只有假定乘法公理才能证明。这个结果也可以从崔梅罗定理，即是：如乘法公理为真，则任何类均可良序这一命题中推导出来；因为一个良序序列的关系域所有的项数不是一个有穷数就是一个自反数。

• ℵ₀是一个可乘数”，所谓一个数ν是可乘的，即是：除非其中有一个因子为零否则v个因子的乘积绝不为零。我们能够证明一个有穷数 总是可乘的，可是我们不能证明任何的无穷数也是如此。乘法公理等价于这样一个假定：所有的基数都是可乘的。

十三、无穷公理与逻辑类型

• 无穷公理可以叙述如下：若n是任一个归纳基数，则至少有一个类有n个个体。如果这公理是真的，自然我们得出：世界上个体的总数不是一个归纳数。

• 无穷公理给我们保证：确有一些类有n个分子，于是我们才得断定n不等于n＋1。没有这个公理，可能n和n＋1都是空类。

• 如果没有无穷公理，我们能够处理有穷整数和分数的加法、乘法和乘方，但是我们不能处理无穷整数或无理数。这样，我们就不足以建立一个超穷数的理论和实数理论。

• 类型论的必要性由“最大基数的矛盾”可以看出。假若一切能够计数的对象能组成一个类，那么这个类的基数是一切可能的基数中的最大的。因为它所有的子类都是它的分子，子类的数目不会比分子的数目大。

• 将所有不是自己的一分子的类聚在一起形成一个类。假如它是自己的一分子，由于定义我们知道它就是那些不是自己的一分子的类中的一个，也就是，它不是自己的一分子。假如它不是自己的一分子，那么它不是那些不是自己的一分子的类中的一个，也就是，它是自己的一分子。

• 一个个体的类是或不是另一个个体的类的一分子也是没有意义的；以符号构造的任何一个类，假若它的分子在逻辑的层次上不属于同一个等级，那么这些符号就不再表征任何事物。

• 波尔察诺和戴德铿两人还用了一个论证来证明自反类的存在。这个论证，简单地说，是一个对象和它的观念不等同，但是任何对象都有一个观念（至少在存在界是如此），因为一个对象和它的观念有一个一对一的关系，然而观念本身又是对象，所以“是某对象的观念”这个关系将整个对象类反射到它自己的一部分中，这一部分就是观念所构成。因此，对象类和观念类二者都是无穷的。

• 如果就逻辑来了解“观念”，可能观念等同于对象，或者是对象的摹状词。在前一种情形下论证不成立，因为自反性证明中的要点就是对象与观念必须不同。在第二种情形下，论证也不成立，因为对象与摹状词的关系不是一对一的。

• 没有经验的理由使我们相信世界上特殊东西的总数是无穷的；同样目前也没有任何经验的理由使我们相信这数目是有穷的。关于世界上事物的总数是有穷的抑或无穷的这一点，我们没有一点先验的、普遍并且必然的知识。

• 我们定义“专有名词”为在命题中只能作为主词出现的项。所谓“个体”或“特殊东西”就是可以用专有名词来指称的东西。

• 在理论上分析必能达到最后的主体，这些就是所谓的“个体”或者“特殊东西”。我们把公理解释为关于这些东西的，而不是关于整个层次中的任何别的阶段的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。