《数理哲学导论》（一） (10-8)

• 若基本振动部分有许多项，那么当自变数由下趋近于某一点时，函数没有确定的极限。在这种情形下我们可以取基本振动部分的上边界和下边界作为自变数由下趋近于某一点时，函数的“基本”值的上极限和下极限。同样，我们得到自变数由上趋近于某一点时基本值的上极限与下极限。在一般的情形下，趋近于一给定自变数时函数有四个极限。

• 对于一给定自变数a而言，函数的唯一极限只在四个极限全相等时才存在，并且就是这四个极限的共同值。如若这个值也是自变数为a时函数的值，那么函数对于这个自变数a而言是连续的。一个函数对于每一个自变数都是连续的，则称这函数为（没有限制地）连续的。

• 一函数对于自变数a而言是连续的，且有值fa，如果这函数满足下面四个条件：（1）给定任何小于fa的实数，当自变数从下趋近于a时，函数收敛于这数的一切后继中。（2）给定任何大于fa的实数，当自变数从下趋近于a时，函数收敛于这数的一切前趋中。（3）和（4）是与上类似的条件，只不过自变数是从上趋近于a。”

• 如果给定P-序列中任一区间α，α包含对于自变数a而言的函数值，在Q-序列中有一区间，这区间包含a但不以a为终点，并且对应于这整个区间的函数值是α的分子，我们说函数R对于自变数a是连续的。

十二、选择与乘法公理

• 因子数是有穷的乘法没有什么困难。给定二类α和β，α有μ项，β有ν项，为了定义μ×ν，我们可以构造有序的对子，我们从α中选出一项作为一个对子的第一项，从β选出一项作为第二项，所有这些对子形成一个类，这个类所有的项数就是μ×ν。

• 令λ为类的类，并令λ的各分子两两不相交。当一个类恰好由λ的每一分子中的一个项所组成时我们就叫这个类为λ的一个“选择类”，假使μ的每一分子都属于λ的某一分子，并且若α为λ的任一分子，μ和α刚好有一项共同，这个μ即是λ的一个“选择类”。λ所有的选择类形成的类称为λ的“乘法类”。

• 所谓一个类的类λ的一个“选择子”乃是一个一对多的关系，这个关系以λ为它的后域，并且如果x对α有这个关系，那么x是α的一分子。假使R是λ的一个选择子，α为λ的一分子，又x是和α有关系R的项，我们称x为对于关系R而言的α的“代表”。λ的一个选择类现在可以定义为一个选择子的前域。

• 一个类的类λ的分子的项数的乘积是λ的选择子的数目。

• 给定一个类的类，它的各分子互相排斥，并且没有一个是空的，那么至少有一个类，这个类和给定的各类恰好有一项共同。这个命题我们就称之为“乘法公理”。

• 和乘法公理等价的一个命题是：仅当至少一个因子为零时，乘积才是零；亦即，如果任何数目的基数相乘，除非这些基数中有一个是0，乘积绝不为0。

• 和乘法公理等价的另一个命题是：如果R是任意的一个关系，λ是任意的一个类，这类包含在R的后域中。那么至少有一个一对多的关系，这个关系蕴涵R并且以λ为它的后域。

• 和乘法公理等价的第三个命题是：设α为任意一个类，λ是除空类以外α所有的子类的类，那么λ至少有一个选择子。

• 崔梅罗已经证明，乘法公理等价于每一类均可良序这一命题，所谓每一类均可良序就是每一类均可排成一序列，在这一序列中每一子类（除去空类）都有一首项。

• 乘法公理还等价于这么一个假定：任何两个不等的基数必有一个较大。如果公理不真，则将有二基数μ和ν，μ不小于，也不等于，也不大于ν。2^ℵ₀和ℵ1可能就是这样的一对基数的例子。

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