《数理哲学导论》（一） (10-10)

十四、不相容性与演绎法理论

• 在数学中用数学的方法所能知道的东西就是能从纯逻辑推演出来的东西。至于属于人类知识的其他东西必须用经验的方法来确定，通过感觉，或者通过某种形式的经验，但不是先验的、演绎的。

• 在演绎法中有一个或者多个命题称为前提，从前提我们推论出一个命题称为结论。这样我们可以把演绎法看成是一个过程，通过这个过程我们从某个命题，即前提的知识达到另一个命题即结论的知识。但是除非前提和结论间有这么一种关系：如果我们知道前提是真的，则我们有权利相信结论也必真；否则我们将不认为这个过程是逻辑的演绎法。

• 命题函项中最简单的一种就是否定，“非－p”。这是一个p的函项，当p假时它真，当p真时它假。一命题之真或假我们称为是这命题的“真假值”。

• 析取关系“p或q”的真假值在p真时是真的，q真时也真，但是在p和q全假时是假。合取关系“p且q”当p和q全真时函项的真假值是真；否则，即p和q有一为假或全假时，函项的真假值是假。

• 不相容关系，即“p且q不全真”，是合取关系的否定；也是p的否定和q的否定的析取关系，亦即，“非－p或非－q”。这个函项的真假值在p假时是真，在q假时也真，当p和q都真时函项的真假值是假。

• 蕴涵关系，即“p蕴涵q”，或者“如果p则q”意谓“非－p或q”：如果p是假的它的真假值是真，同样，如果q是真的它的真假值也是真，但若p真而q假，它的真假值是假。

• 给定p的真假值或者p与q的真假值，我们可以得到否定，析取，合取，不相容，蕴涵五个函项的真假值，有这样性质的命题函项称为“真值函项”。

• 我们的初始概念是称为“不相容”的一个“真值函项”，这个函项以“p/q”来表示。否定可以定义为一个命题和它自己不相容，亦即，“非－p”可以定义为“p/p”。析取是非－p 与非－q 不相容，也就是，（p/p）|（q/q）。蕴涵是p与非－q不相容，也就是p|（q/q）。合取是不相容的否定，也就是（p/q）|（p/q）。

• 以下五命题是《数学原理》中所使用的形式的演绎法原则。（l）“p或p”蕴涵p，即，如果或者p真或者p真，那么p真。（2）q蕴涵“p或q”，即，析取“p或q”在p和q二者中有一为真时为真。（3）“p或q”蕴涵“q或p”。（4）假若或者p真或者“q或r”真，那么或者q真或者“p或r”真。（5）如果q蕴涵r，那么“p或q”蕴涵“p或r”。

• 让我们以¬p表示p的否定；如是¬(p/s)的意义就是p/s的否定，亦即，p和s的合取，跟着有(s/q)|¬(p/s)的意义是s/q和p及s的合取不相容；换言之，它说如果p和s都真，则s/q假，也就是s和q都真；用更简单的话说，它表示p和s的合取蕴涵s和q的合取。

• “p|（q/r）的意义是“p蕴涵q和r”。t|（t/t）的意义是“t蕴涵它自己”。令P=p|（q/r），π=t|（t/t），Q=(s/q)|¬(p/s)。倪可德的唯一的一条演绎法的形式原则就是P|（π/Q），也就是，P蕴涵“π且Q”。

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