《数理哲学导论》（一） (10-7)

• 对于一个关系P而言，α类的“极小”，乃是α和P的关系域中的一些分子，α中没有分子和它们有P关系。对于关系P而言，α的“极大”即是对于P的逆关系而言，α的“极小”。

• 对于一个关系P而言，α类的“后项”即是α的“后继”的极小，至于α的“后继”乃是P的关系域的一些分子，α与P的关系域的共同分子对于它们都有P关系。对于关系P而言，α类的“前项”即是对于P的逆关系而言，α类的后项。

• 如果对于关系P而言α类没有极大，则对于P而言α的“上极限”即是α的后项；若α有一极大，则α没有上极限。对于关系P而言α类的“下极限”，即是对于P的逆关系而言α类的上极限。

• “由一类α所确定的P的节”，即是与α的分子有P关系的一些项。假定P是序列关系，那么一类α的“边界”就是项x，x的前趋是α所确定的节。α的一个“极大”即是α的边界，这个边界并且还是α的一分子。α的“上极限”即是α的边界，不过这边界不是α的一分子。

• β类的“上极限点”是从β中选择出来的项的集合的上极限。一个集合的极限点称为这一集合的“一级导项”，一级导项的极限点称为二级导项，如此类推。

• 当一个序列的关系域的每一个子“类都有一个边界时，我们即称这序列为戴氏的序列。当一个序列没有空隙时，这序列即戴氏的序列。当一个序列是戴氏的序列和紧致的序列时，这个序列即具有“戴氏的连续性”。

• 如果有一序列，其中所有各点都是极限点，并且所有这序列的极限点都属于这一序列，这样的序列康托定义为“完备的”序列。

• 假若序列中每一分子都是一个序级或者反序级的极限，康托就称这序级为“内在凝聚的”。如包含在一个序列中的每一个序级或反序级都有一个极限，那么这序列称为是“封闭的”。如果一个序列是内在凝聚的，和封闭的，那么，这一序列称为是“完备的”。

• 一个序列的“中间类”乃是关系域的一个子类，在序列的任何二项间有这类的一些分子。一个序列如果（1）是戴氏序列，（2）包含一个有ℵ₀项的中间类，那么这序列是“连续的”。我们称这一种连续性为“康托的连续性”。

• 康托的连续性蕴涵戴氏的连续性，可是反之则不然。一切序列如有康托的连续性必彼此相似，但是有戴氏连续性的一切序列不一定相似。

十一、函数的极限与连续性

• 一数x的邻域即是从x－∊到x＋∊之间所有的数。函数f（x）称为对于自变数a是连续的，如果对于每一个大于0而任意小的σ，存在一个大于0的数∊，使得对于δ的一切值只要其绝对值小于∊，f（a＋δ）－f（a）的绝对值总小于σ。

• 对应于从a－∊到a（a除外）这区间内自变数的函数值是实数的一个集合，这个集合确定实数集合的某个分割，这个分割的下部即是不大于从到a－∊的a函数值的数所组成。让我们取一切可能的∊，和一切可能的对应的分割。所有这些分割的下部的共同部分我们称为当自变数趋近于a时的“基本下部”。

• 说一数z属于这基本下部，就是说：无论我们使∊如何小，在a－∊与a之间总有一些自变数，对应于这些自变数的函数值不小于z。说一数z属于这基本上部就是说：无论我们使∊如何小，在a－∊与a之间有一些自变数，对应于这些自变数的函数值不大于z。“如果一项z既属于基本上部也属于基本下部，我们就说它属于“基本振动部分”。

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