《数理哲学导论》（一） (10-6)

• 并不是所有的无穷集合的项数都是ℵ₀。例如实数的项数就是大于ℵ₀，事实上它的项数是2^ℵ₀＞ℵ₀。即使n是无穷的，我们也不难证明2^n大于n，因为包含在一类中的子类数永远是大于这一类的分子数。

• 无穷基数没有极大。ℵ₀+1=ℵ₀。ℵ₀+n=ℵ₀，此处n为一归纳数。ℵ₀^2=ℵ₀。ℵ₀^n=ℵ₀，此处n为一归纳数。

• 2^ℵ₀是一个非常重要的数，它就是有“连续性”的序列的项数，所谓“连续性”乃是在康托的意义下的连续性。

• 我们从ℵ₀减去它自己，我们可能得到的结果从0到ℵ₀没有一定。ℵ₀为ℵ₀所除时所得的商可以是1到ℵ₀的任何数。

• 康托相信每个类和每一个基数不是归纳的，就是自反的，这一点或许是真的，并且或许很有可能证明；可是直到现在康托和其他的人所提出的证明都有缺点。

• 一个有穷的类或一个有穷的基数即是一个归纳的类或归纳的基数。一个无穷的类或一个无穷的基数即不是归纳的类或不是归纳的基数。所有的自反类与自反基数都是无穷的；但是现在还不知道是否所有的无穷类与无穷基数都是自反的。

九、无穷序列与序数

• 一个“无穷序列”，可以定义为其关系域是一个无穷类的序列。序级是一种无穷序列。一个无穷序列最值得注意的特征就是：只不过将它的各项重新排列就可以使它的序列数改变。

• 有第一第二两序列数，任何一个序列，如果它有第一个序列数，就包含另一个有第二个序列数的序列作为它的一部分，然而却没有一个序列，它有第二个序列数，并且还包括一个有第一个数的序列作为它的一部分。我们就称第一个序列数“大于”第二个序列数。

• 假使μ和ν是两个关系数，一般的法则是μ＋ν不等于ν＋μ。在有穷序数的情形下，二者是相等的，但这是一种稀有的例外。

• 所有使一个序级变得稀疏而得到的序数，它们所组成的序列本身长于任何其他的、由一个序级的项重新排列而得到的序列。这些序数形成一类，这类的基数可以证明是大于ℵ₀；这个数康托称之为ℵ1。从一个ℵ₀所能得到的序数依大小排列起来，它们所组成的序列的序数叫做ω1。是以序数为ω1的一个序列，它的关系域的基数是ℵ1。

• 一个序列，它的每一个子类都有一个首项，那么这序列称为“良序的”序列。一个“序数”乃是指一个良序的序列的关系数。因之它是序列数的一种。

• 如果在一个序列中，所选择的一组项后还有一个直接后继，又若某一个性质为这一组项所据有，那么这性质也必为它的直接后继所据有，这样的性质我们可以称为是“超穷遗传的”。在一个良序的序列中，序列的首项所有的超穷遗传性质，整个的序列也有。

• 从ℵ₀项中我们可能构造一个紧致的序列；我们已经知道有ℵ₀个分数，并且以大小为序的分数形成一个紧致的序列。

• 交换律、结合律、分配律和乘方定律，对于基数，不论有穷或无穷都真，对于有穷序数也真。但当我们讨论到无穷序数，或者一般的关系数时，有些定律成立，有些定律不成立。

十、极限与连续性

• “极限”概念是一个纯粹的序的概念，与量无涉。ℵ₀所以成为有穷数的极限，乃是由于在序列中它紧跟在这些有穷数的后面，这是一个次序方面的事实，而不是一个量方面的事实。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。