《数理哲学导论》（一） (10-5)

• 在第二种情形中，我们称下部的极大即上部的下极限，或者是上部中任意取出一些项的集合的下极限，只要在上部中没有一项是先于这一项集中的所有各项。在第三种情形中，我们称上部的极小即下部的上极限或者是下部中任意取出的一个项集的上极限，只要在下部中没有一项是后于这一项集中的所有各项。在第四种情形中，我们说有一“空隙”。

• 设有一项x，一类α及一关系P，如（1）对于P而言，α没有极大，（2）α的每一属于P的关系域的分子都先于x，（3）P的关系域中先于x的每一分子先于α的某一分子，合乎这三个条件，即称x为对于P而言的类α的“上极限”。

• 设有一项x，一类α及一关系P，如x为α的一分子，并且属于P的关系域，又x对于α中其他任何分子均无P关系，则称x为对于P而言的α的“极大”。

• 对于P而言一类的极小乃是对于P的逆关系而言该类的极大；对于P而言一类的“下极限”乃是对于P的逆关系而言，该类的上极限。

• 上极限或极大”被称为“上边界”。如若一项集既没有一个极大也没有一个上极限，那么也没有上边界。“下边界”即是下极限或极小。

• 如一个序列的每一个分割都有一个边界，无论是上边界还是下边界；则此序列称为“戴氏的”序列。以大小为序的分数序列不是戴氏的序列。

• 让我们限制于下部没有极大的分割，在这种情形下我们称下部为一“节”。“一个“实数”即是以大小为序的分数序列中之一节。一个“无理数”即是以大小为序的分数序列中无边界的一节。一个“有理实数”即是以大小为序的分数序列中有边界的一节。

• 任何序列的节所形成的序列是戴氏的序列，因为，给定任意节的集合，它们的边界是这许多节的逻辑和，亦即，至少属于这个集合中的一节的所有那些项形成的类。

• 有二实数，每一实数是一类，在一类中取出一分子，在另一类中也取出一分子，所有可能选择出来的分子的算术和所形成的类就是二实数的算术和。以一类中一分子与另一类中一分子相乘，各种可能的乘积形成的一个分数类就定义为二实数的算术积。

• 一个复数可以简单地看成并且定义成有先后次序的一对实数。有先后次序的两对实数（x，y）和（x'，y'），我们定义它们的和为（x＋x'，y＋y'）一对实数，它们的积为（xx'－yy'，xy'＋x'y）一对实数。

八、无穷基数

• 我们肯定世界上有无穷集合的假设，这个假设的实际形式是：如果n为任何归纳数，则n不等于n＋1。我们所假定的已包含在皮亚诺的基本命题中。

• 归纳数的类的项数应定义为“所有与归纳数类相似的类”，这些类的集合就是归纳数的项数。这个数并不是一个归纳数。

• 一个“自反”类即是一个相似于它自己的一个真部分的类。一个“自反”基数是一个自反类的基数。归纳数类是一个“自反”类，并且它的项数是一个“自反”数。

• 一个“序级”是一个一对一的关系，使得仅仅有一项属于这关系的前域而不属于关系的后域，并且前域等同于这一项的后代。这样定义的序级满足皮亚诺的五个公理。

• 产生序级的两个传递而非对称的关系是相似的。所有这些产生序级的传递关系所形成的类即是一个“序列数”；事实上这是最小的一个无穷序列数。康托以ω作为它的名字。

• 序级的前域形成一个基数，这个基数是最小的无穷基数。最小的无穷基数的名字是ℵ₀。

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