《数理哲学导论》（一） (10-4)

• 当两关系相似时，凡不与它们的关系域中实际各项有关的性质，它们都共同具有。

• 一给定关系的“关系数”是所有与这给定关系相似的关系的类。至于一般的“关系数”，是所有那些关系的类的集合，而这些关系类乃是各种不同的关系的关系数。

• 一给定类的“基数”是所有与这给定类相似的类的集合。

• 两个有穷序列有相同的关系数，当且仅当它们的关系域有相同的基数（相同的项的基数）。

• 适用于序列的关系数可以称做“序列数”。因之当我们知道一有穷序列的关系域中项的基数时，它的序列数也可以确定。

• 在数学中，甚至在很大的程度上在物理科学中，重要的不是我们所研究的各项的内在性质，而是它们相互间的关系的逻辑性质。

• 一关系的“外延”乃是一个有序的对子（x，y）的类，在对子中x对y有所说的关系。

• 当二关系有相仿关系时，或说，当它们有相同的关系数时，它们有相同的结构。因而我们曾经定义过的“关系数”即是我们以“结构”一词所模糊地表示的同一件东西。

• 如果我们所陈述的这些假定是对的，客观的复本必形成一个世界，有与现象界相同的结构，并且凡可以用抽象的概念陈述出来，又已知对于各种现象为真的命题，客观的复本允许我们从现象推论出它们的真实性。

七、有理数、实数和复数

• 如m是任何归纳数，对于任何n而言，＋m是n＋m对于n的关系，－m是n对于n＋m的关系。只要n是一个基数（有穷的或者无穷的）并且m是一个归纳基数，＋m是一个一对一的关系。但是＋m无论如何不能等同于m，因为m不是一个关系，而是许多类的一个类。

• 我们将定义m/n为，当xn＝ym时，二归纳数x，y之间的一个关系。假定m，n俱不为零，m/n是一个一对一的关系。至于n/m乃是m/n的逆关系。

• 无论n为什么归纳数，0/n总是同一个关系，简言之，就是0与其他的任何归纳基数之间的关系。我们可以称之为有理数的零，它不等同于基数0。不论m为什么归纳数，m/0也总是同一的。没有任何归纳基数对应于m/0，我们可以称之为“有理数的无穷”。在分数中只有零和无穷不是一对一的关系。零是一对多的，无穷是多对一的。

• 给定二分数m/n和p/q，假若mq小于pn，我们即说m/n小于p/q。这样定义的小于关系是序列的，因而分数形成一个以大小为序的序列。在这序列中，零是最小的一项。无穷是最大的一项。当0和无穷除去后，分数的序列中既无最小的分数，也无最大的分数。

• 不论两个分数如何接近，在它们之间总有别的分数。在任何两项间总有其他的一些项，因而没有两项是相连的，具有这样性质的序列称为“紧致的”。依大小次序排列的分数形成一个“紧致的”序列。

• 将一序列中所有各项分为二类，使其中一类的各项全先于另一类的各项，如上面所使用的方法由于戴德铿的研究而著名，所以名为“戴氏分割”。关于分割点有四种可能的情形发生：（1）在下部中有一极大，在上部中有一极小，（2）在下部中有一极大，而在上部中无极小，（3）在下部中无极大，而在上部中有极小，（4）在下部中既无极大，在上部中也无极小。”

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