《数理哲学导论》（一） (10-3)

• 要产生一个开次序，我们需要一个“在……之间”的三项关系。要产生一个循环次序，我们需要一个可以称做“两两离间”的四项关系。

五、关系的种类

• 不论R为何种关系，借助广义归纳法从R所导出的祖先关系即是传递的；并且如R是多对一的关系，只要限制于一给定项的后代，这祖先关系即是连通的。

• 非对称的关系是示异的，然而示异的关系不一定非对称。

• 如果我们希望尽可能地去掉关系命题而替之以主谓词式命题，只要我们限制于对称的关系，这一点是可以做到的：传递而非示异的关系可以看作是断定一个共同的谓词，至于传递且示异的关系是断定不相容的谓词。

• “另外一种非常有用的关系是一对多的关系，这种关系就是对于一给定的项而言，至多只能有一项与之有此关系。从形式上说我们可以通过一种处理将所有的关系替以一对多的关系。

• “真祖先”是一个一对多的关系（一对多的关系也包含一对一的关系），因为每一个数决定一个独特的数类构成它的真祖先。

• 函数概念不必限于数，或限于数学家使我们习知的用途；它可以推广到所有一对多的关系的情形，这种意义上的函项是摹状函项。

• 设R为一对多的关系，则对于这函项，一切可能的自变数的范围或变程即是R的后域，值的范围或变程即是前域。

• 所谓R与S二关系的“关系积”仍是一关系：如在x与z之间有一中间项y，使得x与y有R关系，y与z有S关系，则称x与z有此关系；至于一对多的关系即是一关系与其逆关系的关系积包含等同关系。

• 在一对一关系的情形下不仅一关系与其逆关系的关系积包含等同关系，即其逆关系与关系本身的关系积也包含等同关系。

• 我们称关系由之出发的项为关系，称关系所及的项为被关系者。一给定关系的一切可能的关系者所形成的类是此关系的前域，一切可能的被关系者所形成的类是它的后域。

• 一对一关系的前域与后域常会相交。在各种不同的排列中前域与后域是等同的。

六、关系的相似

• 只有当一个关系是“齐性的”时候，也就是，只有当一个关系的前域和后域属于相同的逻辑类型时，一个关系才有一个“关系域”。

• 我们可以定义两个关系P和Q“相似”如下：有一个一对一的关系S，它的前域是P的关系域，后域是Q的关系域，并且若一项对另一项有P关系，则此项的对应者与另一项的对应者有Q关系，反之，若一项对另一项有Q关系，则此项的对应者与另一项的对应者有P关系。

x P y

• → •

S ↓ ↓ S

• → •

z Q ω

• 如果有P，Q二关系及一个一对一的关系S，又S的后域即Q的关系域，并且P是S和Q以及S的逆关系三者的关系积，则称S为P与Q的一个“关联者”或者一个“序的关联者”。如P与Q二关系至少有一个关联者，则称关系P与Q“相似”或有“相仿关系”。

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