《数理哲学导论》（一） (10-2)

• 假使无论何时一数n有一性质，它的后继n＋1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”。如n是一类中的一分子，n＋1也是，则称这类是“遗传的”。

• 如果0有一个性质，并且这性质是遗传的，则称此性质为“归纳的”。一个类如果是遗传的，并且0是它的一分子，则称这类是“归纳的”。

• 给定一自然数，有许多遗传类包含这已知数，这些类所有的分子我们就定义为对于“直接前趋”关系（“后继”关系的逆关系）而言的，这已知数的“后代”。

• “自然数”就是对于“直接前趋”这一关系而言的0的“后代”。0是以空类为唯一分子的类。类α所有项数的后继就是α任何不属于α的项x一起所构成的类的项数。

• 假定宇宙中个体的数目不是有穷的，那么我们已经做到的不仅是以逻辑的基本概念定义出皮亚诺的三个基本概念，并且还了解如何用逻辑的基本概念与命题来证明他的五个基本命题。因此，所有纯粹数学，既然它能从自然数的理论演绎出来，就不过是逻辑的延伸。

• 假使一项x有一性质；又如x对y有R关系，则y也有此性质；那么这性质称为是“R-遗传的”。给定一个类，如果定义它的性质是R-遗传的，那么这类也是R-遗传的。

• 假使有一项x与其他的项有R关系，或者其他的项与x有R关系，又有一项y具有x所有的每一种R-遗传的性质，则称x为y的“R-祖先”。所谓x的“R-后代”就是以x为其R-祖先的各项。

• 我们将用“归纳数”这一名词指我们迄今以“自然数”表示的同一类。

四、序的定义

• 几何学中维的概念就是由序的概念发展而来。作为所有高等数学的基础的极限概念也是一个序列的概念。

• 没有一个项的集合恰好只有一个次序而排斥其他的次序。

• 序的关系应该具有以下三种性质：（1）非对称的：如果x在y之先，或说x先于y；则y必不先于x。（2）传递的：如果x先于y，并且y先于z，x必先于z。（3）连通的：给定为一关系所排列的一类中的任何二项，必是一个在先，另一个在后。

• 无论何处有一种序存在，总可能发现一种关系，具有以上三种性质，产生以上的序。

• 一关系称为是示异的，如果没有一项对其自身有这关系。当x与z两项之间有一中间项y，使得x与y之间及y与z之间有同一关系时，则x与z之间的关系是此关系的平方。一关系称为包含或者蕴涵于另一关系中，如果不论何时另一关系成立，则此关系也成立。

• 一关系如果是传递的、示异的和连通的；或者说，如果是非对称的、传递的和连通的，则此关系称作是序列的。一个序列即是一个序列的关系。

• P要成为一个序列关系，必须具有以下三种特性：（1）我们绝不能有xPx，亦即，绝没有一项先于它自己。（2）P^2 必须蕴涵P，亦即，如果x先于y，y先于z，x必先于z。（3）如果x和y是P的关系域中不同的二项，我们将有xPy或yPx，亦即二项中之一必须先于另一项。

• 所谓一个归纳数m小于另一数n，即是n具有m的后继所具有的一切遗传的性质。这样定义的“小于”关系是非对称的、传递的和连通的，并且以归纳数作为其关系域。

• 设有一项x与之有R关系，任何项，如有此项所有的各种R-遗传性质则这些项所构成的类即称为x对于R而言的真后代。如果y属于对于R而言的x的真后代，那么即称x是对于R而言的y的“真祖先”。

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