《数理哲学导论》（一） (10-1)

目录

一、自然数串 ▹

二、数的定义 ▹

三、有穷与数学归纳法 ▹

四、序的定义 ▹

五、关系的种类 ▹

六、关系的相似 ▹

七、有理数、实数和复数 ▹

八、无穷基数 ▹

九、无穷序列与序数 ▹

十、极限与连续性 ▹

十一、函数的极限与连续性 ▹

十二、选择与乘法公理 ▹

十三、无穷公理与逻辑类型 ▹

十四、不相容性与演绎法理论 ▹

十五、命题函项 ▹

十六、摹状词 ▹

十七、类 ▹

十八、数学与逻辑 ▹

参考文献 ▹

摘要：在《数理哲学导论》中，罗素将数理逻辑的主要结果以一种既不需要数学知识，也不需要运用数学符号能力的形式陈述出来。他讨论了自然数、数、归纳法、序、关系、有理数、实数、复数、无穷基数、极限、连续性、命题函项、类、摹状词等概念。本书清楚明确地陈述了罗素的数理哲学观点，即人们通常所称的逻辑主义。

一、自然数串

• 皮亚诺证明：除加上一些纯逻辑的概念和命题外，整个自然数的理论能够从三个基本概念和五个基本命题演绎得出。这三个概念和五个命题因而似乎可以代替全部传统的纯粹数学，假使它们能由其他的概念和命题来定义或证明，全部纯粹数学也能。

• 皮亚诺算术中的三个基本概念是：0，数，后继。他以“后继”指在自然次序中一数的次一数。至于他所谓“数”乃是指所有自然数所构成的类。

• 皮亚诺所肯定的五个基本命题是：（1）0是一个数。（2）任何数的后继是一个数。（3）没有两个数有相同的后继。（4）0不是任何数的后继。（5）任何性质，如果0有此性质；又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质；那么所有的数都有此性质。

• 皮亚诺的三个基本概念能容许无数不同的解释，所有这些解释都能满足那五个基本命题。给定任一数串，只要它是无尽的，不包含重复，有一个首项，并且没有一项不能从首项通过有穷的步骤达到，那么我们就有一个项的集合适合皮亚诺的公理，它叫作一个序级。

二、数的定义

• 列举的定义称为“外延”定义，提出一个特性的定义称为“内涵”定义。这两种定义中，在逻辑上是内涵定义比较基本。外延定义对于我们关于一个类的知识不是必要的。

• 所谓“一对一”的关系，就是：如果x 对y 有所说的关系，则没有其他的项x'对y有这种关系；并且x对于y以外的任何项y'也没有同样的关系。只满足两个条件中的第一个的关系称为“一对多”关系，只满足第二个的关系称为“多对一”关系。

• 所有与别的东西有某给定关系的各项所形成的类叫做这关系的前域。又一个关系的后域就是它的逆关系的前域。所谓一类“相似”于另一类，就是在它们之间有一个一对一的关系，一类是这关系的前域，另一类是它的后域。

• 每一类都相似于它自己，（2）如果一类α相似于一类β，那么β相似于α，（3）假使α相似于β，而且β相似于γ，那么α相似于γ。一个关系当它具有这些性质中的第一种时，称为是自反的，具有第二种性质时称为对称的，具有第三种时称为传递的。

• 一个类的数是所有与之相似的类的类。所谓数就是某一个类的数。

三、有穷与数学归纳法

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