逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-9)

任何逻辑算子的引入和消除规则必须处于某种平衡状态，这种平衡可以将规则解释为将任何负责任、理性和真诚的说话者的推理义务与任何负责任、理性和值得信赖的听者的推理权利匹配起来。

有关平衡通过逻辑算子所谓的归约程序（reduction procedure）来解释。这些程序使得人们可以从证明中移除任何既是作为引入规则应用的结论、又是作为相应消除规则应用的主要前提的句子出现。重复应用这些程序最终会将证明转变为一种正常形式的证明——本质上是一种不再适用这些程序的证明。正常形式的证明的意义在于，它们代表了从前提到结论的直接演绎路径。

尽管根岑的方法后来被证明是强大、深刻和革命性的，但它在某种程度上是有限的。它仅限于公认的一阶逻辑的逻辑算子：¬，∧，∨，→，∃ 和 ∀

与此完全同时出现的是卡尔纳普（Carnap）的《语言的逻辑语法》（Logische Syntax der Sprache 1934），该书提供了语言的分析性说明，其中所有的逻辑-数学算子都可以对句子是否分析真（或分析假）做出类似的贡献。然而，卡尔纳普是通过使用包含所有不同的逻辑-数学算子的公理化来实现这一点的，这些算子在语法上复杂的公理中共同发挥作用。因此，他的方法与根岑的更加“自然”的方法截然不同，后者聚焦于单一算子。此外，直到他 1939 年的《逻辑与数学的基础》（Carnap 1939），非自然的方法仍是卡尔纳普的首选。我们提到卡尔纳普与根岑的对比，是因为根岑在二战结束时不幸早逝。谁知道根岑可能会如何将他精心设计的推理主义（inferentialist）技术推广到更一般的逻辑主义方案的项目中呢？他的著作直到 1969 年才被翻译为英文出版（见 Gentzen 1934/1935 [1969]）。然而，卡尔纳普幸存下来，并对一代新的数学哲学家在逻辑主义问题和前景上的想法上产生了相当大的影响；他能如此，是因为从 20 世纪 30 年代中期起，他就在美国用英语写作。

20 世纪 40 年代初以后，证明论并未扩大和多样化，以处理一个潜在的丰富的议题：研究各种引入和消除规则的形式，因为它研究了受到规则支配的表达式，这些规则并不像引入和消除规则那样容易分类。例如，一类逻辑-数学中“相伴而生”和相互依赖的概念家族就是这样的例子。这种家族的一个例子是任何两个事物的有序对；任何有序对的第一个成员；和同样的第二个成员。这个例子以及可以给出的其他例子的重要特征是，有关算子是项-形成算子。根岑将他的研究限制在句子-形成算子上。也许是塔斯基（Tarski）的形式化语言的真理论（见 Tarski 1956 [1933]）转移了人们对进一步发展本质上对逻辑和数学算子意义的推理主义进路的兴趣。

4.2 反实在论和逻辑主义的推理主义式进路

推理主义进路对语义反实在论者具有特殊的吸引力。根据迈克尔·达米特对语义实在论颇具影响力的描述，实在论者相信，一个语言的每个陈述句都是确定地真或假，独立于我们得知其真假与否的手段。这被认为是实在论者对严格的经典逻辑原则（如排中律）使用的证成。相比之下，反实在论者坚持所有真理都是可知的；并迅速指出，我们没有任何有效的方法来确定数学陈述的真假。因此，反实在论者拒绝排中律（以及所有其他在直觉上与之等同的严格经典规则），并主张使用直觉主义（intuitionistic）或构造性（constructive）逻辑，而不是经典逻辑。

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