逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-8)

Mancosu（2016：Chapter 4）对 HP 是分析的主张提出了另一种截然不同的反驳。讽刺的是，Mancosu 提出了他称之为对 HP 的“好伙伴”反驳。HP 与至少无限多的“好伙伴”抽象原则争夺首位。它们之所以是好的，是因为像 HP 一样，它们可以逻辑推导出戴德金-皮亚诺公理。它们通过各自的“数”-抽象算子以及谓词（这些谓词的外延是（戴德金-）有限的）做到这一点。他们为这些外延分配正确的自然数来作为它们的基数。然而，当该算子应用于外延为（戴德金-）无限的谓词时，这些其他原则的结果任意地不同于从更康托式的 HP 中可得到的结果。HP 和这些好伙伴在所有有限外延上的结果都是正确的。但这些好伙伴在无限外延的“数”-分配上则引起了混乱。Mancosu 认为，HP-er 的问题是如何考虑到所有这些好伙伴，如何保持 HP 是分析的。我们在这里看到了另一个认识论担忧的表现：当逻辑主义的目标只是为戴德金-皮亚诺算术提供一个更深入但分析的基础时，HP 的一致性强度过高。这样一个基础所需要的只是 HP 和这些竞争的好伙伴原则达成一致的——即，应该分配正确的数（即自然数）给具有（戴德金-）有限外延的谓词。关于戴德金-皮亚诺算术的逻辑主义者来说，没有必要对任何无限数作出声明。

Mancosu 的 HP 的好伙伴之所以出现，只是因为他与 HP-er 分享了一个基本的逻辑承诺：语言中的每一个单称词项必须指称。这意味着为算术的逻辑主义基础所提供的逻辑不是自由逻辑。通过将数-抽象算子应用于谓词而形成的每一个单称词项都被认为代表了某个对象。如果人们认为，仅生成对数作为抽象存在物的认识论上可证成的承诺是逻辑主义计划的一部分，那么这种对自由逻辑的拒绝会使问题变得过度复杂。可以说，我们希望能够识别出只有那些存在资格绝对可信的数。特别是，当提供对戴德金-皮亚诺公设更深的逻辑推导时，逻辑主义者应该能够只提供自然数。

4. 构造性逻辑主义

4.1 一种不同的新逻辑主义的动机

我们从一些关于根岑式（Gentzenian）证明论的评论开始。这并不是因为它在逻辑主义的发展中起了任何直接作用——远非如此——而是因为我们试图在本节中大致描述一种不同类型的新逻辑主义，它更依赖于证明论资源。

直到 20 世纪 30 年代初的格哈德·根岑（Gerhard Gentzen）的工作（见 Gentzen 1934, 1935），基础的研究者们才能够使用形式的演绎计算来切实地反映数学证明中推理依赖关系的实际结构。我们在这里指的是结论对前提和假设的依赖关系，这些假设可能仅是“为了论证”而做出的。一个很好的例子是归谬假设（假设ф； 导出谬误；得出为 ¬ф， 现在独立于 ф）。

令人意想不到的是，在 Frege 于 1879 年破译了先前隐藏的多重量化句子的语法代码之后，数理逻辑学家们又花了这么长时间才发现自然演绎计算（以及序列计算）。非凡的是，Gödel 在 1929 年已经证明了一阶逻辑的完备性，这早于根岑对其自然的形式化，而当时可用的逻辑只有弗雷格、希尔伯特（Hilbert）和罗素与怀特海（Whitehead）发明的极其不自然的演绎计算形式。

根岑处理的关键突破是用每个逻辑算子自身的规则对其分别刻画，这些规则中只有该算子才具有明确地位。此外，这些规则仅处理有关算子（处于主导地位）的单个出现。推理到结论的规则被称为算子的引入规则（introduction rule）；而从前提出发的推理规则被称为消除规则（elimination rule）。

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