逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-10)

一个关心证明算术的基本定律分析性的反实在论者会询问，在推导皮亚诺公设时，是否可以避免严格经典的推理路径。因为，如果这些公设是分析真的，那么反实在论者会期望通过仅诉诸涉及构造性内容的可证成的规则来达到它们（见 Rumfitt 1999）。而且，反实在论者确实可以。她可以避免诉诸休谟原则的全部力量。就有限数而言，休谟原则概念内容中的无害成分，可以在反实在论者为零、# 和后继所规定的推理规则中得到表达。毕竟，海廷（Heyting）算术具有与皮亚诺算术完全相同的公理，并且是那些公理在直觉主义而非经典逻辑下的逻辑闭包。PA 和 HA 系统仅在用于闭包的逻辑上有所不同。如果在这里所讨论的意义上，直觉主义者被禁止成为逻辑主义者，那将是相当奇怪的。

达米特式反实在论者的意义理论所青睐的证明论方法可以很好地服务于在算术基础中对分析性的追求。此类证明论进路的核心是形式化支配所有相关的表达式-形成算子的推理规则——这些规则最好以引入-消除的形式成对出现。这些规则构成了各算子意义的本质；因此，仅通过这些规则证明的结果可被视为分析的。因此，任何敏锐的意义理论家都会提出以下问题：本着弗雷格精神，通过适当的、符合反实在论意义理论一般要求的意义-构成的推理规则，是否可能压根没有一个反实在论（构造性、或直觉主义）的对算术基本定律的推导？反实在论学说将这种拓展引入到基本理论（如算术）内的数学表达式中。它可以为弗雷格式逻辑主义者提供他们所寻求的东西：戴德金-皮亚诺公设的基本推导来自更基本的逻辑原则，这些逻辑原则在认识论上至少与他们试图推导的数学假设一样安全。

4.3 实行

Tennant (1987) 提出了一种称为构造性逻辑主义的理论。其显著特征可总结如下：

• 有限性：它证明了至多有限外延的概念的数的存在；

• 逻辑上弱：它仅使用自由直觉主义式相干逻辑（free intuitionistic relevant logic）；

• 概念充分性：它证明了模式 N 的所有实例（见下文）；

• 严谨性：它提供了一个“完全严格的皮亚诺公设的推导”（Burgess 2005：147）。

• 单管抽象：其基本原则是实现“单管条款”抽象的推理规则。

构造性逻辑主义完全背离了《法则》的形式方法及其双管抽象原则基本法则V，也与许多新逻辑主义者选择的起点——运用同样是双管的休谟原则——不同。构造性逻辑主义本质上是一种自由逻辑，即一种摆脱了教条的（和约束的）弗雷格式假设的逻辑，这一假设认为每个语言中的良构的单称词项都必须指称某个对象。在自由逻辑中，单管抽象原则可以被形式化为对于任何约束变量抽象算子 α的引入和消除规则，该算子支配其在形如 t＝@xA(x) 的典范等同陈述中的出现。当然，构造性逻辑主义者试图将 # 替换为 @。

关于这一替代进路的细节，对不仅是自然数理论，还包括有理数和实数理论的逻辑主义推导，详见 Tennant 2022。这一进路还可以应用于集合论本身；见 Tennant forthcoming。在那里，所揭示的“集合的逻辑”正是蒯因所说的虚拟集合论（virtual set theory）：我们称那个学说的主体为分析的，它涉及集合-抽象、谓词化和成员关系之间的相互联系，而不作任何本体论承诺。采用这种进路，策梅洛的外延性公理可以作为逻辑定理推导出来。

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