逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-7)

本词条主要限于（新）逻辑主义对自然数的解释。但值得提出另一个问题，它关于扩展新弗雷格主义解释以应对实数。我们将其称为包容问题（inclusion question）。如何理解作为实数的自然数（在非双关的数同一的意义上）是得到逻辑主义保障的自然数？ Shapiro（2000）中的新弗雷格式抽象主义的解释没有回答这个问题。在该解释中，各种新的抽象对象是从相当不同的等价关系中抽象出来的，没有试图保留自然数 n 是整数 n，是有理数 n，和是实数 n 的可能性。（尽管 Shapiro 在第 339 页写到，他建议“在此避免（包容下的等同）问题”，他的处理方法实际上还是对包容问题作出了否定回答。）

一个没有得到令人满意解决的问题是：如果 Wright 的新弗雷格式逻辑主义的公理化原则 HP 以及所采用的二阶逻辑（= FA）的一致性强度比要“建立”的理论要高得多，那么在何种意义上他们可以声称为一阶皮亚诺算术提供了认识基础？（这再次引起了 Boolos（1997: 248-9）所表达的担忧。）

基础研究的一个古老传统是，提供的基础不仅显然是一致的，而且显然是真实的，并且所建立的（各）数学分支的结果都必须从中逻辑地推导出来。而且，这种逻辑推导本身也必须是认识论上可通达的——因此，可验证的证明很重要。一个基础性的努力可以同时针对数学的许多不同分支，或者只是针对某个特定的分支，例如算术。在前一种情况下，如果所选择的基础理论（例如 ZFC）相对于任何一个正被建立的数学分支具有更高的一致性强度，这是可以理解的。但如果努力只针对某一个分支（比如算术），那么相较于那个分支，所提供的基础的一致性强度应尽可能地低。

FA 的一致性强度等同于二阶算术Z₂（即实分析），这与不包含幂集公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的强度相同。而一阶皮亚诺算术的一致性强度则要弱得多，即等同于不包含幂集公理（Axiom of Power Sets）和无穷公理（Axiom of Infinity）的策梅洛-弗兰克尔集合论。

通过以无限制的形式采用包含休谟原则的二阶逻辑，Wright 不仅承诺每一个自然数（具有分析性），而且还承诺任何概念的基数（具有分析性）。我们现在知道，哥德尔预见性的“完成性”洞见早已被充分验证了。这一洞见是：集合论者证明数学中越来越强的结果——尤其是每个新获得系统的一致性——的关键在于假设存在越来越大的基数。如果所有这些基数都可以通过对适当表达的概念应用休谟原则而得到，那么 Wright 就提出一个具有巨大强度的基础理论。FA 之所以不比 Z₂ 更强大的唯一原因是该系统的本体论完全由抽象所生成。存在性假设没有其他来源，如将集合论添加到理论组合中那样。

当考虑到由休谟原则生成的 Wright 的超限基数的本质时，我们需对这样的添加过程更加小心。Kit Fine（1998：515；2002）的研究揭示了，任何将这种超限基数的抽象解释与集合论结合的尝试，都必须将抽象出的基数视为无素（Urelemente）而不是集合。对于由休谟原则生成的每个超限基数，集合论本身不能提供集合替代物。

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