逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-6)

推导这些假设不需要借助任何直觉或感官经验。所涉及的推理过程只依赖于我们对逻辑有效性的理解，并辅以适当的定义。（对于 HP-er 而言）声称的结果：因为 HP 是分析的，逻辑主义得以证实；通过这种方式推导出来的数学知识被揭示为分析的，而不是综合的。

然而，对于这一结果的保留意见，请参见 Boolos（1997）。HP-er 需要应对的主要反对意见是，休谟原则既不是逻辑的也不是分析的真理。反对意见认为，它不能是逻辑的，因为它有如此巨大的本体论承诺：对于每个概念，都有其所谓的数。它也不能是分析的，因为双向条件句的两边有不同的本体论承诺：右边没有对数的承诺，而左边则充满了这样的承诺。为了应对这些反对意见，HP-er 需要做两件事。首先——任何逻辑主义者都需要做的——他需要挑战这样一个教条：逻辑原则都不可以带来任何本体论承诺。其次，他需要提供一种关于分析性的解释，根据这种解释，即使双向条件句两边的明确的本体论承诺不同，双向条件句也可以是分析的。（通过考虑将每一边视作受限语言中的句子来判断这些承诺，这个语言的词汇足以构成该句子。）

HP-er 提倡不受限制的休谟原则，因此如我们所见，他承诺每一个形如{x│Φ(x)} 的项都有指称。HP-er 承诺的不仅是所有自然数的数，还有所有自我等同事物的数——至少，Wright在 Wright (1983) 是这样。这个“普遍数” （universal number）x(x＝x)：有时被称为“禁零”（anti-zero）。在第 187 页的注释 5 中写道：

值得强调的是，当然，存在一个像Nx：x＝x 这样的数是绝对必要的；因为如果对此有所怀疑，那么就无法想象有什么理由承认 Nx：x ≠ x。

Boolos（1987）在对普遍数表示担忧后，提供了一个巧妙的模型（Geach (1975: 446-7) 非正式地预示了这一模型），以消除对包含 HP 的完整二阶逻辑一致性的疑虑（即现在称为 FA 的系统，即“弗雷格算术”）。只需将自然数和不同的对象ω 作为定义域的元素。元素 ω 作为任何形为 xΦ(x)：的术语的指称，其中 Φ 被无限多的元素满足。然而，这个一致性证明仅在 FA 被单独考虑时有效。不能依靠 Geach-Boolos 模型来确保 FA 与其他理论（如集合论）结合的一致性，尽管人们可能希望将 FA 扩展到这些理论。由于计数有限外延应当是一个普遍适用的智力运算，无论内容是什么，因此仅适用于自然数（或者再加一个非自然的总数 ω)的 FA 不是一个规则，而是一个例外。FA 应适用于不仅是具体对象，还应适用于抽象数学实体，如实数和集合。只要有一个关于所讨论对象的同一性标准，就应该能够计数它们的任何有限集族。

随后，在 Hale 和 Wright 2001（p. 315）中，Wright 对有资格加上前缀“满足...x 的数”的“x＝x”是否可以作为分类谓词（sortal predicate）持保留意见。现在 Wright 正在探讨“驱除反零所需的是什么”（p. 314，重点为作者所加）。他深思熟虑后的答案是，只有当概念 F 既是分类的又不是有无限外延的，一个形为 xFx：的项将指称一个数。所以 Wright 接下来就希望实现他之前声称无法想象的情况。技术性建议必须是休谟原则应限制在既是分类的又不是有无限外延的谓词(表达的概念)上。但这当然引发了这样一个问题，即是否有一种有效的方法可以确定任何给定的谓词 F，是否 F（表达的概念）既是分类的又不是有无限外延的。如果没有这样的有效方法，该理论将无法被公理化。

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