逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-5)

其次，一旦任何自然数 n 的存在被确立，通过将其后继s(n) 定义为从 0 到包括 n 在内的所有自然数的数（弗雷格技巧），s(n) 的存在也随之确立。

第三，自然数概念的定义利用了后继关系的祖先概念：仅当 x 通过有限多步的后继关系到达 y 时，x 才与 y 有后继祖先关系。（如前所述，这一定义中源自副词“有限地”的任何明显的循环，经仔细检查发现只是表面现象。）“z 是自然数”这一概念被定义为“要么0是 z，要么0与 z 有后继祖先关系”。这就是新弗雷格式逻辑主义者用以推导自然数的数学归纳原则的方法。本文章的读者幸免于形式细节。它们可以在Tennant（2022）中找到。

3. 带有休谟原则的二阶逻辑

新弗雷格式复兴真正开始于Wright。Wright（1983）试图从被称为N⁼ 并且后来被称为休谟原则（即上述Parsons的原则（A））中推导出后继算术的戴德金-皮亚诺公理：

形苑粟：F(x)＝x：G(x) ↔ ∃R(R Fs Gs).

Wright 勾画了从休谟原理推导戴德金-皮亚诺公理的过程。这些推导将在标准二阶逻辑中进行——“标准”的意思是，在 HP 的情况下，可以证明所有形式为xΦ(x)：的数-抽象项具有指称。这样的系统对于其数-抽象项来说是非自由的。即使所涉及的二阶逻辑在官方意义上是自由逻辑，即对于任何良构的单称词项 t，不承诺定理模式 ∃！t（即 ∃x x＝t），这一点依然成立。这一点的证明简短容易，与 § 1.2.3 中给出的证明类似。我们给出一个非正式版本如下。

显然，等同关系是Φs 和 Φs 之间的一一映射关系。因此，这是二阶逻辑的一个定理：

∃R(R Φs Φs)

这是 HP 的一个实例的右侧，其左侧为：

#xΦ(x)＝#xΦ(x).

在包含 HP 的二阶逻辑，这被确立为一个定理模式。因此，在这个系统中，我们有以下定理模式：

∃！#xΦ(x).

总的模式是，尽管罗素发现了弗雷格自己的类理论中的悖论，但我们可以挽救弗雷格关于自然数和实数及其知识的关键的哲学见解。尽管存在该悖论，数仍然是逻辑对象，通过抽象的方法或原则来刻画——当然，这些原则不能像弗雷格的基本法则V 那样雄心勃勃。这些原则提供了一种独特的对数字的认知途径。支配这两种数字的常用数学公理将被视为从（高阶）逻辑中推导出来的结果——基本上遵循弗雷格的演绎计划。这些推导将利用所涉及的数理论的原始常量、函数和谓词的适当定义。（例如：0，1；s，＋，×；＜；N(x)；ℝ(x)。）

主要的区别在于：新弗雷格主义者不再接受弗雷格将数定义为等数类的类。相反，根据新晋的抽象原则，数被认为是自有的。Wright 式新逻辑主义者（以下简称 HP-er）选择 HP；构造性逻辑主义者则更为谦逊地选择了允许引入零和后继的规则。然而，除了这一关键区别外，新弗雷格主义者在推导戴德金-皮亚诺公设时，在其他方面仍然非常接近弗雷格整体的演绎策略。

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