逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-4)

ZFC理论家在其假设中非常明确地表达了本体论承诺，不管是直接的还是有条件的。他们的目的当然是描绘一个非常丰富的数学宇宙——在这个宇宙中有如此多的东西，以及如此多样的结构，几乎可以找到任何你希望推测和证明的数学对象或结构的集合论“替代物”。ZFC理论家只关心将所有数学统一在一个总的领域中，而并不特别坚持有关对象和结构的逻辑主义观点。逻辑主义甚至可能面临一个新的挑战：展示集合论本身——就像算术和分析一样——仅仅是伪装为定义的逻辑真理的一员；并展示如何将集合本身（重新）解释为某种纯粹逻辑对象的定义性关联！

2. 新弗雷格主义

新弗雷格主义的复兴源于Charles Parsons的一个洞见（见Parsons 1965:183和194）。他指出，基于弗雷格在《基础》中的论证结构，下面的原则（A）足以推导出皮亚诺算术公理。Parsons使用二元量词“Glz”来简写“gleichzahlig”（等数），并用 Nₓ 来简写“...的数”：

A NₓFx＝NₓGx ≡ Glzₓ(Fx，Gx).

…我们可以将[弗雷格过程]形式化为定义皮亚诺的三个原始概念‘0’、‘自然数’和‘后继’，并证明皮亚诺公理。...除了引入形式‘NₓFx’的项和证明（A）外，不需要使用任何集合存在的公理，因此这个论证可以将（A）作为公理。

这现在被称为“弗雷格定理”。弗雷格定理以原则（A）作为假设。奇怪的是，弗雷格在《基础》中对这一原则（即两个概念具有相同的数仅当它们等数）的重要性的强调，在《法则》中却消失了，其中双向条件句的两半似乎相去甚远在：在 § 53 他证明了如果两个概念一一对应，那么它们的数目是相同的，而在 § 69 他证明了反过来也成立。但在《法则》中，他从未重新组合这个双向条件句并赋予其首要的哲学重要性。如果他这样做了，他很可能会成为第一个回应罗素悖论的新弗雷格主义者。然而，要做到这一点，他必须克服将（A）视为逻辑公理的顾虑。

新弗雷格主义运动旨在揭示大量数学是分析的。该主张更强于：大量数学是先天的，不从经验科学甚至从经验科学的成功应用中获取其任何部分的证成。因为那样的主张会适用于被视为先天综合的数学（或任何其他知识分支）。新弗雷格主义者进一步主张，数学的重要部分在逻辑上是从其核心概念或谓词（如“自然数”或“实数”）的分析性（或定义性）原则中推导出来的。即，这些数学内容源自这些核心谓词的意义（我们这里选择分析性主张的语言版本）。请注意这里对“重要部分”的强调。我们知道，根据哥德尔第二不完备性定理，任何一致且足够强的算术理论都无法证明或反驳其自身一致性（的形式化陈述）。后者陈述是真的，但不可证明。鉴于不完备性现象，人们很难兑现这样的主张：仅凭形式证明系统中可以捕捉到的逻辑考虑，所有数学真理都是真的。当一个数学理论（如算术）的第一原则形成一个本质上不完备的公理化体系时，逻辑主义者将不得不坚持，任何新的第一原则的证成都可以以某种严格的逻辑方式提供。

注意上述评论描述了任何形式的新弗雷格式逻辑主义复兴的一般背景。它们并不规定任何这种复兴的确切形式。在第3节中，我们将讨论一种特殊的复兴形式，它通过用休谟原则拓展二阶逻辑；在第4节中，我们将讨论构造性逻辑主义。

这两种形式的新弗雷格式逻辑主义复兴与弗雷格自己的处理方式共同具有以下三个重要特征。

首先，数字 0（零）仍然被定义为任何空概念的数：特别是，作为非自我同一事物的数目（形式上：#x¬x＝x）。

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