逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-3)

{ℵα│α＜ }

其中α＝0，1，2，. . .＜。小于 的序数 α 形成一个集合（实际上： 本身）。ℵα，或更好地表示为 ℵ(α)，是第 α 个无限基数。因此，ℵ 是定义域为 的一个函数，其在 α 上的值是第 α 个无限基数。通过替代公理，集合 {ℵα│α＜ } 存在。这样的集合位于远高于 的秩上。

蒯因的论述扩展了哥德尔（1993/1995）中略显简略的描述。正如哥德尔所观察到的（pp. 45-46），“聚集物理论”，或集合论

由策梅洛、弗兰克尔和冯·诺依曼提出的理论...只不过是类型论的一种自然推广，或者更确切地说，如果去除类型论中某些多余的限制，结果就是它。

这些去除分为三方面：使类型累积化；变量无类型化；并允许类型的形成扩展到超限。

ZFC避免了罗素悖论，即使其所有成员-集都扁平在一个无类型的宇宙中。这是因为其宇宙V 本身不是一个集合。通过不采用任何足够强大的集合抽象原则，集合论者避免了罗素悖论。将论域划分为类型，在方法论上似乎是对罗素悖论的一种过度反应。如果人们将宇宙 V 视为一个集合，罗素悖论当然会重新出现。只需应用分离公理模式（Axiom Scheme of Separation）：

∀y∃z(z＝x│x ∈ y∧Φ(x))，

用罗素式公式实例x ∉ x替换 Φ(x)，并将 ∀y 实例化为 V。

数学家们有一套完善的做法将集合-抽象视为良构项。它们的逻辑-语法形式为{x│Φ(x)}。如果形式化逻辑要尊重这一做法，则必须提供集合-抽象的约束形成算子 (υ.b.t.o.)：

{x│. . .x. . .}

该算子可以应用于任何公式Φ 以产生一个项。这些公式中有一些是危险的，例如 x＝x 和 x ∉ x。形式化基础主义者因此会小心采用一种自由逻辑，其中并不假定每个良构项都有一个指称。罗素悖论的证明因此不再有问题：它仅仅成为一个否定存在 ¬∃x x{y│y ∉ y}的证明。

采用自由逻辑会带来这样的义务：如果一个人希望承认某种对象存在，或者某个特定对象存在，则必须明确假定它们的存在。这种存在不再从底层逻辑的内在或隐含、默认的假设中推导出来。相反，它需要一种明确表达的理论承诺。

ZFC理论家会问：你要一个空集吗？当然可以！这里有一个：

∃x(x＝{y│y ≠ y}).

你要单元素集吗？没问题！：

∀x∃y(y＝{ω│ω＝x}).

...或者，如果你愿意，可以通过两次相同的无序对公理实例得到它们：

∀x1∀x2∃y(y＝{z│z＝x₁∨z＝x₂}).

你要一个无限集吗？当然可以！这里有一个非常有用的：

∃x(x＝{y│Ny})，

其中Ny 表示 y 是一个有限冯·诺依曼序数（这个概念可以用集合论术语明确定义）。

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