逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-2)

罗素类型论中的还原公理规定，每个命题函数与一个直谓函数共外延——即其量化范围仅限于比自身低的类型。这个公理的非平凡内容是，每个非直谓命题函数都与一个直谓命题函数共外延。一个著名的例子是非直谓命题函数 ∀F(Fx ↔ Fy)。在这个例子中，我们可以通过引入直谓命题函数 x＝y 来证实还原公里——前提是接受莱布尼兹有争议的不可分辨物的同一性原则（principle of the identity of indiscernibles）。如果不同于莱布尼兹，人们相信不可分辨物可以是不同的，那么为了证实还原公理，就必须引入其他的直谓命题函数，如 x ~ y，其为真的条件是

∀F(Fx ↔ Fy) ↔ x ~ y.

然而，还原公理等同于承认非直谓定义的可接受性。因为它使类型 1 的命题函数的阶崩塌了。批评者指出，最好放弃分支，并接受非直谓定义的合法性。

人们只剩下简单类型论（不再需要还原公理）。但即使是简单类型论最终也不是一个受人喜爱的数学基础理论——可能是因为在分层类型论之后，没有任何版本的类型论能在数学家中获得青睐。类型论被策梅洛和弗兰克尔的新兴集合论所取代，因为数学家更容易将其视为康托式数学实践的形式编码（codification）。关于罗素逻辑主义接受与衰退的详尽历史可以在 Grattan-Guinness（2000）中找到。（采用“集合”这个术语是为了将这些“更安全”的、无悖论的对象与弗雷格不一致理论中有问题的类区分开。）

1.3.2 策梅洛-弗兰克尔集合论

有理由认为ZFC（包含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论）可以被看作是罗素类型论的思想后裔，尽管这两种理论都起源于同一年——1908年。

集合论取代类型论发生在1920年代。其目标仍然是统一所有数学，并试图通过提供一个广阔的抽象对象宇宙来做到这一点。所有不同的数学理论都可以在集合论中得到解释，只需适当地识别这些理论研究对象的“集合论替代物”。例如，有限的冯·诺依曼序数（ordinals）可以作为自然数的集合论替代物。而自然数的幂集℘(ω)，则是实数连续统的集合论替代物。

ZFC集合论是对纯集合的累积层级结构V的描述，其根本从空集 ∅ 构建而来。V 中的每个集合都是按某个序数索引的秩（rank）而“形成”。这些秩是累积的，并通过幂集操作在后继序数处生成。原先的类型重生为秩，不同之处在于秩是累积的——每个秩包含所有较低秩的所有成员。它们的成员可以说是扁平的（on all fours），因为它们被视作占据一个单一外延的、无类型化的集合宇宙 V。

蒯因（Quine 1969）的第十一和第十二章巧妙地描绘了一条原则上可行的渐进式理论调整的路径，从《数学原理》的类型论开始，最终到达策梅洛-弗兰克尔集合论。之前提到，在类型论中假设还原公理的目的是确保每个命题函数与一个直谓函数共外延。然而，正如蒯因指出的（以及拉姆齐在他之前也指出的），还原公理实际上违背了其自身假设的目的，从而促使人们采用简单类型论来取代《数学原理》的分支类型论。如果接着用“一般”或无类型变量重新表述简单类型论，并使类型累积（而不是互不重叠地分层），就会自然过渡到策梅洛集合论。弗兰克尔的替代公理模式（Axiom Scheme of Replacement）最终允许人们“[刺穿]所有类型的隔层”（Quine 1969: 282），达到策梅洛-弗兰克尔集合论。替代公理指出，任何在一个集合上定义的函数，其值域也是一个集合。例如，对于任何超限序数，可以形成所有无限基数 ℵα 的集合：

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