逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-11)

构造性逻辑主义基于自然演绎规则，这些规则由于其核心概念零（0）、后继（s）和“...的数”是分析的。这些规则确定了数-项-形成算子 xΦ(x)（Φs：的数）的意义。用上述术语，x：的规则相当于单管抽象原则。其余的规则仅允许带有非常局域和适度的本体论承诺，理由是诸如项“0”在一个语言的使用本身就意味着对 0 这一数的存在作出了承诺，这是 0 真正意义的一部分。例如，以下是关于零的自然演绎规则。‘⊥’ 表示谬误。

(i) ─── ─── (i)

F(α) ∃！α

︸

⁝

⊥

0– ──── (i) → ↓

0＝#xF(x)

0＝xF(x)：∃！tF(t) ←

0– ───────────

⊥

（其中参数α 只出现在假设中）

为了缓和上述的最适度的承诺，所有推导都在自由逻辑内构建，因此除了规则本身引起的存在性承诺外，所有其他存在性承诺都必须变得明确。无论如何，构造性逻辑主义者通过这种方式所承担的所有存在性承诺，都是提倡休谟原则的HP-er所承担的。请记住，HP-er不仅承诺所有自然数的数，还承诺所有自我等同事物的数。

相比之下，构造性逻辑主义者的本体论清单要更为适度。构造性逻辑主义者（通过他设定的规则）甚至不承诺所有自然数的数的存在。（通过使用弗雷格技巧）逐一承诺自然数作为必然的存在物。但并不承诺其他任何基数。

Tennant（1987）的第25章题为《论推导算术基本定律：或者如何Frege–Wright a Dedekind-Peano》，提供了在自由直觉主义式相干逻辑内对戴德金-皮亚诺公理的详细形式推导。所有的推导都是直觉主义的，符合上述解释的反实在论目标，并为了保证“构造性逻辑主义”这一短语中的形容词“构造性”。

Heck（1997b）处理了所谓的“有限弗雷格算术”。他的处理是经典的。但与构造性逻辑主义一样，Heck 关心的是推导算术的基本定律时只对自然数进行本体论承诺。为此，Heck 将休谟原则限制为具有有限外延的谓词。因此，自然可以推测，构造性逻辑主义是 Heck 的有限弗雷格算术的直觉主义式（相干的）片段。

Tennant（1987）认为，任何逻辑主义理论的充分性条件是解释有限基数的适用性（见 p. 234）。令∃ₙxFx 为具有同一性的一阶逻辑公式，按通常方式进行归纳定义，表示正好有 n 个 Fs。

n

令 – 为指称自然数 n 的数，即“s . . . s0”，其中有 n 个后继符号 s 的出现。模式 N 是以下的双向条件句，通过固定特定自然数 n 和开公式 Φ 获得其实例。

(N ) xΦx＝n：↔ ∃ₙxΦx.

–

一个充分的数理论应允许推导出模式 N 的每个实例；构造性逻辑主义理论确实做到了这一点。Tennant 认为，这解决了自然数在计数有限集族中的适用性的问题。

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