逻辑主义与新逻辑主义（三） (4-1)

迄今为止讨论的所有逻辑主义解释仅处理零、后继和“...是自然数”。但它们之间存在重要差异。构造性逻辑主义的一致性强度是否具有与弗雷格算术的一样高，这还并不清楚。在构造性逻辑主义系统内，似乎无法推导出形如

∃y(y＝#xF(x))

的存在性声明，其中F 的外延是一个无限集（例如所有自然数的集合）。与此相比，FA 证明了

∃y(y＝x(x：)).

因此，本文作者推测，这一系统的一致性强度低于 FA。

在 Tennant（2009）中，构造性逻辑主义的处理扩展到加法和乘法。关键的创新是一个“有序配对的逻辑”：一套自然演绎推理规则，它支配从既有对象t 和 u 的有序对 π(t，u)的形成，以及任何有序对成员 u 的左投影 λ(u) 和右投影 ρ(u)。

5. 模态新逻辑主义

Zalta（1999）提出了一条有趣且不同的（因为是模态逻辑的（modal-logical））通向自然数的路径。尽管 Zalta 自己并未将其归类为新逻辑主义，但他的进路似乎值得称为“新逻辑主义”。（我们暂且不讨论模态逻辑的逻辑地位问题。）

Zalta 使用带有同一性的经典二阶模态逻辑（S5），并带有一阶 Barcan “公式”，或公理模式

♢∃xψ(x) → ∃x♢ψ(x).

及其二阶对应

♢∃Fψ(x) → ∃F♢ψ(F).

一阶 Barcan 公式迫使人们将量词解释为涵盖所有可能的个体，无论处于哪个世界——在穿越可达关系从一个可能世界到另一个可能世界时，不会涉及任何领域的“扩展”或“收缩”。

逻辑是自由的，摹状词（摹状算子ι 是原初的）被严格解释——即如果在现实世界中摹状词有一个指称，那么该指称在任何其他可能世界中也是它的指称。

有必然性和可能性的常见的真势模态词□ 和 ♢（当然由 S5 解释），以及现实算子 A。编码关系 xF 可以在抽象对象 x 和属性 F 之间成立。

Ax 意味着 x 是一个抽象对象。抽象对象所编码的属性构成其本质，因此，对于其作为对象的身份至关重要（Zalta 1993: 396）。

例如，柏拉图的三角形形式编码了作为一个三角形的属性，但并未例示了（examplify）这一属性。

Zalta的基本原则包括以下几点：

• 日常对象不能编码任何属性。

• 对于属性的任何给定条件，某个抽象对象仅编码满足该条件的属性。

• 同一个体可以保全真值地互相替换。

• 同一属性可以保全真值地互相替换。

• 如果某个特定编码是可能的，那么它是必然的。

Zalta定义了一种针对日常对象的属性间的等数关系 ≈。基于 ≈ ，Zalta提出了（基）数的概念（Zalta 1993: 630）：

这意味着x 计数了 G 仅当 x 是一个抽象对象，且 x 编码的属性正好与 G 等数（注意，仅针对日常对象来判断等数性）。根据 Zalta 的首要原则，容易得出“对于每个属性 G，都有一个唯一的对象对其计数”。

Zalta的系统推导出休谟原则：

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