《数理哲学导论》（二） (3-3)

• 不涉及任何函项集合的函项被称为“直谓的a函项”。我们称直谓的a函项为第一级类型的a函项；涉及全体第一级类型的a函项称为第二级类型的a函项；如是类推。没有一个a函项的变元能历经所有不同的类型：到某一个固定点，它必须突然停止。

• “还原公理”叙述如下：有一个a函项的类型（譬如说τ），使得给定任何a函项，有属于所说类型的某个函项与它形式等价。

• 类的理论可以归约到一个公理和一个定义。这公理是：有一个类型τ，使得如果ϕ是一个能取一给定对象作为主目的函项，那么有一个函项ψ，ψ属于类型τ，并且和ϕ形式等价。这定义是：如果ϕ是一个能取一给定对象作主目的函项，τ是以上公理所说的一个类型，那么说由ϕ决定的类有性质f，就是说，有一个函项，这函项属τ类型，和ϕ形式等价，并且有性质f。

十八、数学与逻辑

• 数学与逻辑二者等同的证明自然是一件很细致的工作：从普遍承认属于逻辑的前提出发，借助演绎达到显然也属于数学的结果，在这些结果中我们发现没有地方可以划一条明确的界限，使逻辑与数学分居左右两边。

• 称为算术或者逻辑都无不可的这门学科的某些特征是很明显的。在这门学科中我们不从处理特殊的东西或者特殊的性质入手：我们从形式上研究所谓任何的东西或者任何的性质。

• 形式是作为组成的成分进入逻辑命题中。一个命题的“形式”乃是当命题的每一个成分为其他的东西所替换后命题中仍然不变的东西。

• 逻辑的或者数学的命题能够从一个不含变元的命题得到，即是将其中每一个成分改为一个变元，并且断定所得的结果恒真或有时真，或者先断定其对于某些变元恒真，再断定以上结果对于其余变元有时真，或者作任何其他类似的断定，就可以得到一个逻辑的或数学的命题。

• 形式能够用特殊的词以外的其他方法表示：词的次序可以将所要表示的表示出一大半。

• 假定命题的形式可由另一些命题形式表示，在其中并没有用到任何特殊的指明形式的词，我们将得到一个语言，在这个语言中每一个形式的东西属于句法而不属于词汇。在这样的一个语言中即使我们一个词都不知道，我们还是能够表达出所有的数学命题。

• 逻辑命题的特征之一是：设有一个适当的语言，一个人只知道这语言的句法，可是对于词汇中的一个词都不知道，他也能够在这语言中断定一个如是这般的命题。

• 逻辑常项可以用我们定义形式的方式一样地定义；它们本质上是一回事。一个基本的逻辑常项就是许多命题所共同的东西，这些命题中的任一个都可以从其他的任一个将项加以替换得到。

• 虽然所有的逻辑的（或者数学的）命题能完全由逻辑常项以及变元表达出来，反之，能以这种方式表达出来的命题并不都是逻辑的。

• 那些说逻辑命题的特征就在于它能从矛盾律演绎出来的人，他们感觉到了并且打算定义出我们所寻求的逻辑命题的特征。我们可以暂且称这种特征为“同语反复”。

• 逻辑命题是可以先验地认识的，不需对于实际世界作一番研究。

• 逻辑的符号系统对于数理哲学精确的和彻底的讨论是绝对必需的。

参考文献

罗素，《数理哲学导论》

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