逻辑主义与新逻辑主义（三） (4-3)

Parsons 1987 给出了模式V 与一阶逻辑一致的模型论证明。（这是由 Schroeder-Heister 1987猜测的）。J. Burgess 1998 提供了相同结果的证明论和构造性证明。Heck 1996 扩展了 Parsons 的论证，证明了弗雷格系统中简单的和分支的直谓性片段都是一致的。Wehmeier 1999 为一个包含公理 V 和更高阶概括原则的一元二阶逻辑理论提供了一致性证明。Ferreira 和 Wehmeier 2002 证明了模式 V 和相同概括原则的一致性。有关更高阶的原则被称为 Δ¹₁-概括。

近期另一项创新类似于对《法则》适当片段的研究，它涉及使用复数量化逻辑的资源。这当然将我们带出了《法则》真正片段的领域。但这些想法与上述片段化学者的想法密切相关。

Boccuni 2011 为一个允许复数量化的语言提供了一个解释，Boccuni 认为这种解释使构成她称为 PG（“复数基本法则”）系统的每一个原则的实例都成立。这些原则包括复数概括原则、谓词概括原则和模式V。Boccuni 2013 将 PG 描述为“一个一致的二阶系统，旨在[推导]二阶皮亚诺算术”。

另一项值得一提的近期创新是 Studd 2016 的工作，旨在寻求对弗雷格式（双管）抽象的可行的新逻辑主义理解。正如他指出的那样，

这种风格[即避免“具有对概念的非直谓概括原则的完整二阶逻辑”]的现有回应的主要缺陷在于，它们破坏了新逻辑主义对数学的恢复。弗雷格定理依赖于完整的二阶逻辑。直谓理论及其分支变体太弱，无法解释二阶算术PA₂（见John P. Burgess 2005，ch. 2）。

在他的阐述中，Studd 避免使用复数逻辑，但在过程中提出了一些评论，大意是人们愿意的话，可以用复数逻辑语言来表达他的主张。他重新考虑起抽象词项。他诊断了寻找“充分性标准...以筛选‘好’的[双管—NT]抽象原则如休谟原则与‘坏’的如基本法则V”的问题。他总结说，这种解决坏伙伴问题的进路

是错误的方向…如果新逻辑主义者仍持有将其在算术上的成功扩展到数学其他分支（包括标准的策梅洛-弗兰克尔集合论）的野心。

Studd 诊断出双管抽象原则的问题在于它们是静态的。它们被认为支配一个全包域，该域本身不能通过左侧的抽象项的指称来扩展。Studd 提出，我们应该将抽象视为动态的，允许通过新抽象的抽象物来扩展域。他为此制定了一个双管抽象理论来实现这一点。

7. 对逻辑主义问题的总结

从前面的讨论中我们可以看出，现有文献中的逻辑主义或新逻辑主义版本存在各种问题。读者如果能牢记这些问题，就能以更批判的眼光来审视任何新提出的新逻辑主义解释的细节。

这些问题中，有些是所有逻辑主义版本都会遇到的，其解决方案可能被视为逻辑主义的“充分性条件”。而另一些问题则仅针对所考虑版本的逻辑主义所使用的特定的方法或假设。以下问题在前面的讨论中显得尤为重要：

1. 弗雷格的“概念化问题”

如果我们认为算术不是基于康德的“时间的纯直观形式”，那么我们如何理解数？正如弗雷格在《基础》§ 62 中所问：“如果我们无法对数有任何观念或直观，那么数是如何被给予我们的？”

2. 弗雷格的“尤利乌斯·凯撒难题”

如果我们有一个对数本质的逻辑主义解释，如何证明尤利乌斯·凯撒不是一个数？更一般地说，在这样的理论中，如何证明没有数是具体的个体？

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