逻辑主义与新逻辑主义（三） (4-2)

F＝#G：↔ F ≈ G

以及以下明显的推论：

∀G∃y(y＝#G).

在这方面，Zalta 的系统与 Wright 的系统一样强大：它们都保证了每个属性的数。然而，Wright 以休谟原则为首要原则，而 Zalta（如同Frege最初所做的那样）从他自己的“更基本”（且可能更强大）的原则中推导出休谟原则。

我们总结 Zalta 系统的三个要点。在他的“具体”和“抽象”意义上：

1. 对于普通对象成立的属性可以分配数。

2. 对于抽象对象（包括数本身）成立的属性，不能分配数。

3. 所有无限多个自然数的存在依赖于可能存在的无界（但有限）多个具体对象。

在第(2)和第(3)点上，Zalta 明确背离了 Frege 和之前讨论的所有（新）逻辑主义者。

6. 或被《法则》启发、或背离它的近期工作

自20世纪80年代初以来，人们又重新对新逻辑主义燃起了兴趣。这一时期的工作试图将逻辑主义从弗雷格灾难中拯救出来（不完全放弃基本法则V，也不以 HP 为起点），其中一种方式是研究各种“《法则》的片段”。这一群学者的共同想法源自 Parsons 1987，具体如下：弗雷格的《法则》屈服于罗素悖论。但弗雷格的系统是一个庞大的系统。让我们看看是否可以从中提取一个（a）一致的，（b）足够强大的片段，以提供相当数量的算术。这是典型的对受到不一致困扰的理论的标准的一致性-恢复修正，但其主要目标是将其从废墟中抢救出来。在这一方向上迄今为止所取得的进展值得报告。我们将这些理论努力称为“片段化”（fragmenting）。

上述片段化的学者们都将项-形成的变量-约束的抽象算子视为原始的，并将其应用于谓词以形成单称词项。他们对于这个算子的符号选择各不相同。这里我们将泛指形为@xA(x) 的项。对于 @，Parsons 跟随弗雷格，在变量 x 上方使用一个呼吸符号（如逗号）。Heck 使用一个紧置于 x 前面的脱字符号（音调符号），并紧随变量-约束前缀后的 x 后面加一个句号。Wehmeier 将脱字符号直接放在 x 上方。Boccuni（严格来说不是一个片段化者——见下文）使用 {x：A(x)} 的形式，其中的冒号类似于现代集合论中的实线：{x│A(x)}。因此，这些学者都在使用某种形式的集合-或类-抽象项，这些项通过一个变量-约束的抽象算子形成。

回到我们使用@ 作为覆盖这些独特变体的通用符号，我们提醒读者，基本法则 V 的模式化形式（其中 A(x) 和 B(x) 是公式的占位符）可以表示为

@xA(x)＝@xB(x) ↔ ∀x(A(x) ↔ B(x)).

基本法则 V 的公理化形式将是二阶的：

∀F∀G[@xF(x)＝@xG(x) ↔ ∀x(F(x) ↔ G(x))].

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