逻辑主义与新逻辑主义（二） (11-1)

由于上述类型论的内在原因，基数不能是类型论的官方本体论中任何类型内的对象。因为它可能的定义域不仅必须跨越不同类型，还必须包括所有类型的类。但这对于任何类型论上可接受的函数或操作来说是不可能的。这个事实也使得罗素无法使用弗雷格技巧来确保数的无限性。因为弗雷格将每个自然数 n 作为数着其前趋自然数的数。要让后者被如此编号，它们必须是官方本体论中的对象——然而，正如刚才所观察到的那样，罗素的基数并不是这样。

将宇宙划分为类型可能会使“逻辑主义”付出高昂的代价。令人不安的是得知，既有的逻辑主义重构对于人们喜欢的数学结构是如此慷慨，以至于每种类型内都有唯一的再现。人们希望在某一个结构中捕捉它们的共性。正如我们刚刚看到的那样，罗素正试图做到这一点，尽管从一开始就注定要失败，因为它承诺在每一类型中存在一系列“相同”的数。

导致这种丰富多彩的类型划分的动机在当时是可以理解的。罗素希望避免任何由非直谓定义（impredicative definitions）可能导致的恶性循环。据罗素所言，对一个类C 本身必然属于的任何个体的范围进行概括来定义 C，这应当是非法的。因此，通过类型划分，自我成员的概念和非自我成员的概念甚至不能使用。

然而，这种对类抽象的罗素式约束导致了：以形为“所有满足Φ(x) x ”的非直谓的“类抽象”的类，它们的存在不能从逻辑上得到保证。因此，罗素必须假定这些类的存在。这被认为削弱了它们作为可能的逻辑对象的地位，并将它们揭示为仅仅是数学假定物。它们的存在再一次（充其量）是先天综合的，而不是分析上必然的和确定的。

人们可能会想，为什么基于一个非常强大的假定，这些类有资格作为一个逻辑对象，但如果它们的存在必须通过更加逐步的假设方式得到保证，反而没有资格。然而，这是罗素逻辑主义的致命弱点。罗素的乘法公理（Multiplicative Axiom）（现在称为选择公理（Axiom of Choice））和他的无限公理（Axiom of Infinity）中的存在假定被视为纯数学的标志，尽管是在一个比自然数或实数本身更广阔的抽象对象宇宙的背景下。

罗素式类型是分支的：也就是说，同一类型的命题函数根据其内部逻辑结构而属于不同的阶（orders）。正如我们所见，命题函数的类型是由其自由变量的类型决定的。但两个同类型的命题函数 ф 和 ф’ 可以涉及不同种量化。如果 ф 涉及量化的（约束）变量范围比 ф’ 内的约束变量更高，那么 ф 的阶相应地就比 ф’ 的阶更高，即使 ф 和 ф’ 是同一类型的。回想一下，一个非直谓命题函数 ф 是一个包含类型高于或等于 ф 类型的约束变量的函数。将非直谓命题函数分配到更高阶是用分支的方式来标记它为非法的。

罗素扩展了他的类型论以避免明确的非直谓定义（庞加莱对此类定义提出了有影响的反对意见）。罗素随后发现自己陷入了困境，无法推导出某些想要的数学结果。其中包括康托定理，以及实分析中的一个定理，该定理指出每个实数集X 如果有上界，则有一个与 X 中的实数是同阶的上确界。分支类型论显得无力证明这些结果。因此，罗素以实用主义的精神，引入了还原公理（Axiom of Reducibility）来解决问题。

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