数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-4)

然而, 真正的难点不在于区分语义学和句法学, 而在于构建语义学本身. 无论是在自然语言还是数学中, 解释词语或命题所表达的内容都不是一件容易的事. 如果一开始就存在一种明确准确地表达词语或命题所指内容的方法, 我们肯定会从一开始就使用那种表达方式作为我们的语言. 除非引入病态和极端的表达方式, 否则自然语言就是表达词语意义内容的优秀框架, 根本没有必要特意引入语义学来解释词语的意义内容. 众所周知, 自然语言的语义学是困难的. 但谓词逻辑的语义学也并非被很好地理解.

当然, 我们在这里讨论的话题与当代作为数学的数学基础论几乎没有关系, 因为后者已经失去了与哲学的联系. 对于作为数学的数学基础论来说, 真值计算是否属于语义学, 定理和证明的讨论是否属于句法学, 这并不影响它们作为重要且有用的概念的地位. 但是, 如果当代数学基础论真的与哲学无关, 那么「完备性定理是连接语义学和句法学的定理」这类解释似乎被相当随意地反复提及.

在经典命题逻辑和谓词逻辑确立之后, 出于各种目的, 人们提出了许多新的逻辑系统. 但是, 在大多数情况下, 新逻辑系统的语义学和句法学的基本框架与经典命题逻辑和谓词逻辑的语义学和句法学框架并没有根本区别[8]. 而且, 当提出了无法完全纳入谓词逻辑框架的新语义学和句法学时[9], 我们似乎倾向于根据语义学和句法学的常识或通俗理解, 轻率地批评它们「不是语义学」或「不是证明」. 这种批评实质上只是在说「与我所知道的不同」.

9.3 桌上的白色豆子

如果证明是通过推理的叠加而构成的, 那么追问「什么是证明」就等同于追问「什么是推理」. 而数学和科学中的推理常常被划分为: 将正确的前提引向正确结论的演绎, 以及从个别事例引出一般规律的归纳. 演绎被认为是数学证明中使用的推理, 是数理逻辑学一直在试图阐明的推理[10]. 另一方面, 归纳被视为科学中典型的推理, 是数理统计学中讨论的推理.

当然, 即使将话题限定在数学和科学领域, 也并非所有的推理都可以归类为这两种. 符号学理论的创始人之一皮尔士指出, 为解释观察到的事实而形成假说的推理既不是演绎也不是归纳, 并将这种推理命名为溯因[11]. 皮尔士的溯因是可以称为发现的一种具有代表性的推理, 在与人类创造性推理相关的各个领域受到关注[12].

要准确定义什么是溯因并不容易. 但是, 如果借用命题逻辑和谓词逻辑的框架, 认为为解释逻辑式φ 表示的事实而形成的假说就是满足 T ⊢ φ 的理论 T , 那么从 T 推导出 φ 的推理就是演绎, 反之从 φ 推导出 T 的推理就是溯因. 前者称为「正向推理」,　后者称为「逆向推理」. 当然, 将溯因理解为「逆向推理」也存在局限性和批评. 但是, 由于缺乏其他合适的形式化方法, 这种思路相对来说被广泛采用[13].

作为「逆向推理」的形式化, 溯因具有「不保真、可能出错、没有规则、不可判定」这四个特征. 这四个特征是通常认为的发现推理的共同特征, 或许我们应该认为具有这四个特征的推理就是发现. 但是, 这四个特征是否真正区分了演绎和发现, 需要仔细审视.

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