数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-5)

在「正向推理」和「逆向推理」中, 导出满足T ⊢ φ 的逻辑式 φ 或理论 T , 推理的结果不仅仅是得到 φ 或 T , 同时还得到了从 T 推导出 φ 的证明. 或者说, 结论为 φ 或前提为 T 只是证明需要满足的条件或规范, 推理的结果其实是证明. 如果这样考虑, 由下文的论证, 就会发现「正向推理」也具有「不保真、可出错、无规则、不可判定」这四个特征. 因此, 这四个特征并没有区分演绎和发现, 或者说, 「正向推理」并没有准确形式化演绎.

首先, 推理保真是指「如果推理的前提全都为真, 那么结论也为真」. 假设T ⊢ φ 成立, 𝕸 是其结构. 根据推理规则的可靠性, 有「 𝕸╞ T 蕴含 𝕸╞ φ」, 从这个意义上说, 「正向推理」是保真的. 另一方面, 即使 T ⊢ φ 成立, 一般来说「 𝕸╞ φ 蕴含 𝕸╞ T 」并不成立, 因此可以确定「逆向推理」不保真. 这也意味着「逆向推理」有错误的可能性, 即「 T ⊢ φ 成立且 φ 为真, 但 T 不一定为真」. 但是, 无论是正向构造证明还是逆向构造证明, 对于得到的证明, 如果从前往后读, 真理就得到保存; 如果从后往前读, 真理就不能保存, 这一点没有区别[14].

关于有错误的可能性, 还有一种错误是将没有形成证明的有限逻辑式序列误认为是证明. 从这个意义上说, 现实中的数学证明中也有很多错误的证明. 在构造形式证明的过程中, 从T 导出不满足 T ⊢ φ 的 φ 的情况也并不罕见. 总之, 就这种意义上的错误而言, 「正向推理」讨论的是「完成的证明」, 「逆向推理」讨论的是「证明的构造过程」, 只是视角不同, 统一视角后「正向推理」也与错误有关.

此外, 要成为合理的假说, 除了正确性之外, 满足「简单、抓住本质」等主观价值标准也很重要, 明确这一标准的难度也是理解发现的难度所在. 但是, 当我们将某个命题称为定理时, 即使不是作为谓词逻辑的专业术语, 而是本来意义上的定理, 也进行了某种主观价值判断, 明确这一标准同样不容易. 从这个意义上说, 「正向推理」和「逆向推理」也没有区别.

不过, 在「逆向推理」中, 从φ 出发导出满足 T ⊢ φ 的 T 确实没有规则. 但作为「逆向推理」结果得到的证明需要遵循推理规则. 从这个意义上说, 「逆向推理」也使用了规则. 另一方面, 在「正向推理」中, 构造证明时也没有关于按什么顺序对哪些逻辑式使用推理规则的规则. 因此, 「正向推理」和「逆向推理」既可以说都有规则, 也可以说都没有规则.

关于可判定和不可判定也是类似的. 在「正向推理」中, 构造证明时使用哪种推理规则也是不可判定的; 在「逆向推理」中, 如果确定了使用的推理规则和逻辑式, 那么导出的作为假设的逻辑式也是可判定的. 此外, 如果可判定的推理就是演绎, 而不可判定的推理就是发现的话, 那么如前所述, 命题逻辑的语义学是可判定的, 句法学是不可判定的, 命题逻辑的语义学和句法学的区别就成了演绎和发现的区别.

「逆向推理」也可以说是保真的. 而且, 没有规则、不可判定、可能出错, 这些跟「正向推理」也并非无关. 总之, 只是因为在「正向推理」中, 问题在于已写出的证明, 而在「逆向推理」中, 话题是证明的构造过程, 所以这四个特征在讨论「逆向推理」时总是成为问题, 而在讨论「正向推理」时却很少被提及. 当然, 这并不意味着演绎和发现没有区别. 但是, 如果演绎和发现可以用这四个特征区分, 那么演绎不一定对应「正向推理」.

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