数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-3)

𝕸 是 Ը 的结构, 因此 Ը 的非逻辑符号在 𝕸 上已经被解释. 在这种解释下, φ 的意思是明确的. 如果可以使用这个明确的意思, 那么 𝕸╞ φ 是否成立就是一个无需数学定义的自明概念. 然而, 将这个概念视为自明的做法并不被视为数学上严格的论证. 在数学上严谨编写的谓词逻辑教科书中, 大多数情况下, 是先给出 𝕸 的初等图式 Th(𝕸|𝕸|) 的递归定义, 并规定当 φ ∈ Th(𝕸|𝕸|) 时, 𝕸╞ φ 成立.

初等图式Th(𝕸|𝕸|) 是作为句子集合的理论, 根据句法学的通俗理解, 它属于句法学的领域. 因此, 结构上的真这一语义概念被认为是通过初等图式这一句法概念在数学上被严格定义的.

然而, 数学的严谨性应该根据是否援引了我们的朴素常识来判断, 而与表述是否形式化基本无关. 在Th(𝕸|𝕸|) 的递归定义中, 对于原子逻辑式, 我们朴素地由援引了其在 𝕸 上的真假. 而对于例如量词 ∀ , 使用了诸如「对任意 α ∈ |𝕸| 有 φ(cα) ∈ Th(𝕸|𝕸|) 成立时, ∀xφ(x) ∈ Th(𝕸|𝕸|) 成立」这样朴素而常识性的逻辑符号解释. 因此, 引入初等图式并不意味着排除了我们朴素的常识, 没有理由认为使用初等图式会在数学上更加严谨.

源自康德的真理或判断的区分包括分析真理和综合真理. 分析真理是指「主语所指概念包含谓语所指概念」所导致的真理, 而综合真理是非分析的真理. 康德还给出了先验和后验的区分, 先验真理和后验真理分别是可以独立于经验而知道的真理和不能独立于经验而知道的真理. 粗略地说, 分析性对应先验性, 综合性对应后验性. 但康德认为这两种区分是不同的, 并论证数学是「先验且综合的」[4].

后来, 弗雷格将分析真理定义为「通过定义变形可以还原为逻辑真理的东西」, 并认为几何学是「先验且综合的」, 而算术是「先验且分析的」[5]. 如果粗暴地简化, 认为整个数学都是「先验且分析的」, 这就是继承了逻辑主义思路的逻辑实证主义[6]. 简而言之, 康德、弗雷格和简化的逻辑实证主义数学观之间的差异在于对「分析真理和综合真理」与数学关系的理解不同.

分析真理和综合真理的区分与「数学是什么」这个问题密切相关. 我们习惯于当前数学论文和教科书的风格, 即从定义出发, 然后进入定理和证明. 我们可能过于简单化了这种关系, 将分析性视为数学的定义. 然而, 蒯因断言, 分析真理和综合真理的区分是经验主义者怀有的一个毫无根据的教条[7]. 如果蒯因是正确的, 并且如果坚持使用递归定义的初等图式来定义 𝕸╞ φ 是基于对分析性的倾向, 那么这种坚持不过是一种由毫无根据的教条所带来的习惯.

与分析真理和综合真理、先验和后验类似的区分还有必然和偶然、确定和不确定等. 我们不知不觉地把数学和非数学的区分也纳入了这一系列区分之中. 进一步地, 我们可能模糊地将句法学与计算、将语义学与感觉联系起来, 从而将句法学和语义学的区分也对应到了类似的区分上.

认为使用初等图式定义结构上的真的概念在数学上是严格的, 这可能也是基于一种素朴的观念, 即初等图式是一个句法概念, 句法概念是分析的, 而分析概念是数学的. 如果我们确实在进行这样的等同, 那么通过结构上的真的概念定义的谓词逻辑语义学, 与语义学的通俗理解不相容, 可能是因为谓词逻辑语义学被要求以数学方式展开, 而「数学语义学」这个概念本身就是自相矛盾的.

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